在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=12x2+bx+c,与y轴交于点B，与x轴交于A、C两点（点A在点C的左侧），其中A（-1，0），C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接BC，过A作BC平行线AD交抛物线于点D．点P为直线BC下方抛物线上一动点，连接AP，DP分别交BC于E，F．记△EFP的面积为S1，△DEF的面积为S2，求S1S2的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿着射线BC方向平移354个单位得到新的抛物线y'．P为（2）问所求点，M是原抛物线上的动点，N是新抛物线对称轴上的动点，写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标，并把其中一个点N的过程写出来．
1
2
S
1
S
2
3
5
4
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=x2-x-3；
（2）有最大值，P（3，-6）；
（3）N点坐标为（4，10）或（4，-9）或（4，15）．
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2
5
2
（2）
S
1
S
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9
7
（3）N点坐标为（4，10）或（4，-9）或（4，15）．
【解答】
【点评】
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发布：2025/6/20 8:30:2组卷：168引用：1难度：0.3
相似题
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1．已知：抛物线M：y=x2+（m-1）x+（m-2）与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．
（Ⅰ）若x1x2＜0，且m为正整数，求抛物线M的解析式；
（Ⅱ）若x1＜1，x2＞1，求m的取值范围；
（Ⅲ）试判断是否存在m,使经过点A和点B的圆与y轴相切于点C（0，2）？若存在，求出m的值；若不存在，试说明理由；
（Ⅳ）若直线l：y=kx+b过点F（0，7），与（Ⅰ）中的抛物线M相交于P，Q两点，且使，求直线l的解析式．PFFQ=12发布：2025/9/14 22:0:1组卷：153引用：14难度：0.1 -
2．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．发布：2025/9/14 22:0:1组卷：678引用：56难度：0.1 -
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；
（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．发布：2025/9/14 22:0:1组卷：355引用：4难度：0.1
