如图，二次函数y=ax2+bx+4交x轴于点A（-1，0）和B（4，0）交y轴于点C，顶点为D，对称轴与BC交于点E，动直线l垂直于x轴，交线段BC于点F，交抛物线于点P，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当四边形DEFP为平行四边形时，求点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2+3x+4；
（2）点P的坐标为；
（3）存在，点P的坐标为：．
（2）点P的坐标为
（
5
2
，
21
4
）
（3）存在，点P的坐标为：
（
16
5
，
84
25
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：318引用：3难度：0.4
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1．如图，抛物线y=ax2+bx+4经过点E（-2，4），与x轴交于A、B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接AC，过点E作x轴的垂线交线段AC于点M，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点且以AM为边的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．发布：2025/5/25 7:30:1组卷：203引用：1难度：0.3 -
2．如图1，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OC=OA．
（1）求抛物线解析式；
（2）点M是直线AC上方的抛物线上一动点，M点的横坐标为m,四边形ABCM的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）如图2，D（0，-2），连接BD，将△OBD绕平面内的某点（记为P）逆时针旋转180°得到△O′B′D′，O、B、D的对应点分别为O′、B′、D′．若点B′、D′两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标．发布：2025/5/25 8:0:2组卷：570引用：5难度：0.2 -
3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y0=x2+bx+c与x轴交于点A（-2，0），点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线y0的表达式及点C的坐标；
（2）若点D0是抛物线y0上一动点，连接CD0，点D0在抛物线y0上运动时；
①取CD0的中点D1，当点D0与点A重合时，D1的坐标为 ；当点D0与点B重合时，D1的坐标为 ；请在图2的网格中画出点D1的运动轨迹，并猜想点D1的运动轨迹是什么图形：；并求点D1运动轨迹的函数y1的解析式；
②在线段CD1上取中点D2，点D2运动轨迹的函数的解析式为y2，在线段CD2上取中点D3，点D3的运动轨迹的函数的解析式为y3，……，在线段CDn-1上取中点Dn，点Dn的运动轨迹的函数的解析式为yn（n为正整数）；请求出函数yn的解析式（用含n的式子表示）．
③若直线y=x+m与系列函数y0，y1，y2，……，yn的图象共只有4个交点，求m的取值范围．
发布：2025/5/25 8:30:2组卷：174引用：3难度：0.2
