在直角坐标系xOy中，曲线C：y=x24与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程．
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）
x
2
4
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）存在符合条件的点（0，-a），下面给出证明：
设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．
联立
，化为x2-4kx-4a=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=-4a．
∴k1+k2=+==．
当b=-a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，
∴∠OPM=∠OPN．
∴点P（0，-a）符合条件．
a
x
+
y
+
a
=
0
（Ⅱ）存在符合条件的点（0，-a），下面给出证明：
设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．
联立
y = kx + a |
y = x 2 4 |
∴x1+x2=4k，x1x2=-4a．
∴k1+k2=
y
1
-
b
x
1
y
2
-
b
x
2
2
k
x
1
x
2
+
（
a
-
b
）
（
x
1
+
x
2
）
x
1
x
2
k
（
a
+
b
）
a
当b=-a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，
∴∠OPM=∠OPN．
∴点P（0，-a）符合条件．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：8108引用：13难度：0.3
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