设函数f（x）=ax³+x（a∈R）．
（1）若直线y=2x-1是函数y=f（x）图像的一条切线，求实数a的值；
（2）若a＞0，当x＞0时，不等式2x-6asinx＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当n≥2时，求证：
2
sin
1
2
+
3
sin
1
3
+
4
sin
1
4
+
⋯
+
nsin
1
n
＞
n
+
1
6
n
-
7
6
．

【答案】（1）

；
（2）

[

，

∞

）

；
（3）证明见解析．

【解答】

【点评】

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发布：2024/4/29 8:6:34组卷：89引用：4难度：0.3

相似题

1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：298引用：2难度：0.4
解析
2．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：48引用：4难度：0.5
解析
3．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：195引用：2难度：0.1
解析

设函数f（x）=ax3+x（a∈R）．（1）若直线y=2x-1是函数y=f（x）图像的一条切线，求实数a的值；（2）若a＞0，当x＞0时，不等式2x-6asinx＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）当n≥2时，求证：2sin12+3sin13+4sin14+⋯+nsin1n＞n+16n-76．