如果把一个奇数位的自然数各数为上的数字从最高位到个位依次排列，与从个位到最高位依次排列出的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等（不等于0），且该数正中间的数字与其余数字均不同，我们把这样的自然数称为“阶梯数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，且|1-2|=|2-3|=|3-2|=|2-1|=1，因此12321是一个“阶梯数”，又如262，85258，…，都是“阶梯数”，若一个“阶梯数”t从左数到右，奇数位上的数字之和为M，偶数位上的数字之和为N，记P（t）=2N-M，Q（t）=M+N．
（1）已知一个三位“阶梯数”t,其中P（t）=12，且Q（t）为一个完全平方数，求这个三位数；
（2）已知一个五位“阶梯数”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求该五位“阶梯数”t的最大值与最小值．
【考点】完全平方数．
【答案】见试题解答内容
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：601引用：2难度：0.1
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1．将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列后（含n本身），得到新三位数abc（a＜c），在所有重新排列中，当|a+c-2b|最小时，我们称abc是n的“调和优选数”，并规定F（n）=b2-ac.例如215可以重新排列为125、152、215，因为|1+5-2×2|=2，|1+2-2×5|=7，|2+5-2×1|=7，且2＜5＜7，所以125是215的“调和优选数”，F（215）=22-1×5=-1．
（1）F（236）=；
（2）如果在正整数n三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：F（n）是一个完全平方数；
（3）设三位自然数t=100x+60+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x,y为自然数），交换其个位上的数字与百位上的数字得到数t′．若t-t′=693，那么我们称t为“和顺数”．求所有“和顺数”中F（t）的最大值．发布：2025/5/24 19:0:1组卷：121引用：1难度：0.4 -
2．对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出两个“极数”，；
（2）猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（3）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，则满足D（m）是完全平方数的所有m的值是 ．m33发布：2024/8/27 6:0:10组卷：276引用：4难度：0.4 -
3．任意一个大于1的整数n都可以分割为两个正整数的和：n=p+q（p、q是正整数，且p≤q）．在n的所有这种分割中．如果p、q两数的乘积最大，我们就称p+q是n的“完美分割”．并规定在“完美分割”时：T（n）=pq.例如：6可以分解成1+5，2+4或3+3．因为1×5＜2×4＜3×3．所以3+3是6的“完美分割”．所以T（6）=3×3=9．
（1）求T（17）的值；
（2）证明：任何一个大于0的偶数2k（k为正整数）都有T（2k）=k2；
（3）一个正整数，由N个数字组成．若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数被2除余1，前三位数被3除余2，前四位数被4除余3，…，一直到前N位数被N除余（N-1），我们称这样的数为“奇特数”，如：236的第一位数“2”能被1整除，前两位数“23”被2除余1，“236”被3除余2，则236是一个“奇特数”．若一个小于200的三位“奇特数”记为t,它的各位数字之和再加上1为一个完全平方数，请求出所有“奇特数”中T（t）的最大值．发布：2024/11/5 8:0:2组卷：103引用：0难度：0.4
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