小明在做题的时候发现，两个连续正整数的积的倒数可以写成两个式子差的形式．
观察下面式子，完成以下问题：
1
1
×
2
=
1
-
1
2
，
1
2
×
3
=
1
2
-
1
3
，
1
3
×
4
=
1
3
-
1
4
，…
（1）请写出第15个式子：
1
15
×
16
=
1
15
-
1
16
1
15
×
16
=
1
15
-
1
16
；
（2）请用含n的式子表示第n个式子：
1
n
（
n
+
1
）
=
1
n
-
1
n
+
1
1
n
（
n
+
1
）
=
1
n
-
1
n
+
1
；
（3）计算：
1
1
×
2
+
1
2
×
3
+
1
3
×
4
+
⋯
+
1
2021
×
2022
；
（4）思考：如果不是两个连续正整数的积的倒数又如何去解决呢，请类比上题的方法计算：
1
1
×
3
+
1
3
×
5
+
1
5
×
7
+
⋯
+
1
2021
×
2023
．

【答案】

；

（

）

【解答】

【点评】

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发布：2025/6/8 13:30:1组卷：162引用：2难度：0.6

相似题

1．按一定规律排列的一列数：2¹，2²，2³，2⁵，2⁸，2¹³，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是
．
发布：2025/6/8 18:0:1组卷：2681引用：78难度：0.5
解析
2．观察以下等式：
第1个等式：
（
1
+
1
）
（
2
-
1
）
=
1
+
1
，
第2个等式：
（
2
+
1
）
（
3
-
2
）
=
2
2
+
1
，
第3个等式：
（
3
+
1
）
（
4
-
3
）
=
3
3
+
1
，
第4个等式：
（
4
+
1
）
（
5
-
4
）
=
4
4
+
1
，
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：
；
（2）写出你猜想的第n个等式：
（用n含的等式表示，n为正整数），并证明其正确性．
发布：2025/6/8 18:0:1组卷：124引用：6难度：0.6
解析
3．观察下列各式，解答问题：
第1个等式：2²-1²=2×1+1=3；
第2个等式：3²-2²=2×2+1=5；
第3个等式：4²-3²=2×3+1=7；
第4个等式：5²-4²=2×4+1=9；
（1）请你按照以上规律写出第n个等式：
；（n为正整数，n≥1）
（2）你认为（1）中所写的等式一定成立吗？说明理由；
（3）利用以上规律，求3+5+7+…+1999的值．
发布：2025/6/8 19:30:1组卷：34引用：1难度：0.7
解析

1．按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是 ．