【问题提出】
（1）如图①，在△ABC中，∠B=60°，点D为AB上一点，连接CD，若∠ADC=120°，则CD与BC的数量关系是 CD=BCCD=BC；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC交AD于点E，交CD的延长线于点G，DF平分∠ADC，交BC于点F，试判断BG与DF的位置关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，某中学有一块形如四边形ABCD的绿地，经测量，∠BCD=100°，∠ABC=2∠BAD，且sin∠BAD=32，为了更好地落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将这块绿地改造成多功能区域，现要求在边AD、CD上分别取点P、H，连接BP、AH，BP与AH交于点O，将四边形DPOH区域设计成手工制作区，绿地的剩余部分设计成健身区．根据设计要求，∠OPD=∠ABC，∠OHD=70°，且DP=AD-BP．设计师的设计过程如下：
①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；
②分别以E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧交于点G，连接AG并延长交CD于点H；
③以点B为圆心，大于点B到AH的距离为半径画弧，交AH于M、N两点；
④分别以M、N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点K，连接BK并延长，分别交AH、AD于点O、P，得到四边形DPOH．
请问，若按上述作法，设计的四边形DPOH是否符合要求？并说明理由．
sin
∠
BAD
=
3
2
1
2
EF
1
2
MN
【考点】四边形综合题．
【答案】CD=BC
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：140引用：2难度：0.2
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1．天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP=CQ；
（2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，CQ=2，求正方形ADBC的边长．2
发布：2025/6/13 22:0:1组卷：2504引用：13难度：0.2 -
2．如图1，在直线l上找一点C，使AC+BC最短，并在图中标出点C．
【简单应用】
（1）如图2，在等边△ABC中，AB=10，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC
的最小值，借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，
EM+MC的最小值就是线段 的长度，则EM+MC的最小值是 ；
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=140°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N，
当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM=°．
【拓展应用】
如图4，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．发布：2025/6/14 2:0:1组卷：166引用：1难度：0.1 -
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