曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，若记y″=（y'）′，则函数y=f（x）在点P（x₀，y₀）处的曲率为
κ
=
|
y
″
0
|
（
1
+
（
y
′
0
）
2
）
3
2
．
（1）求证：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）在
x
=
-
b
2
a
处弯曲程度最大；
（2）已知函数g（x）=6x²lnx-2ax³-9x²，h（x）=2xe^x-4e^x+ax²，
a
∈
（
0
，
1
e
）
，若g（x），h（x）曲率为0时x的最小值分别为x₁，x₂，求证：
x
2
1
e
x
2
＞
e
8
3
．

【答案】（1）证明详情见解答．
（2）证明详情见解答．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：41引用：1难度：0.6

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1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：296引用：2难度：0.4
解析
2．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：47引用：4难度：0.5
解析
3．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：187引用：2难度：0.1
解析

1．已知函数f（x）=ln2+x2-x+1，若关于x的不等式f（kex）+f（-12x）＞2对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（ ）