如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE平分∠BAC，交BC于点E，点D在AC上，以AD为直径的⊙O经过点E，点F在⊙O上，且EF平分∠AED，交AC于点G，连接DF．
（1）求证：△DEF∽GDF；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）若cos∠CAE=32，DF=102，求线段GF的长．
3
2
2
【考点】圆的综合题．
【答案】见试题解答内容
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：555引用：4难度：0.5
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1．已知△ABC内接于⊙O，D是弧AC上一点，连接BD、AD，BD交AC于点M，∠BMC=∠BAD．
（1）如图1，求证：BD平分∠ABC；
（2）如图2，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点F，求证：DF∥AC；
（3）如图3，在（2）的条件下，BC是⊙O的直径，连接DC，AM=1，DC=，求四边形BFDC的面积．6发布：2025/5/25 21:0:1组卷：147引用：1难度：0.4 -
2．如图1、2，在▱ABCD中，AB=10，AD=15，tan∠BAD=
，点M在AD上由点A向点D运动，过点M在AD的右侧作MP⊥AM，连接PA，PD，使∠MPA=∠BAD，经过点A，M，P作⊙O．43
（1）如图1，若AM=4，则阴影部分的面积为 （结果保留π）；
（2）在点M移动过程中，与ˆAM的比是否为定值？如果是，求出这个比值；如果不是，请说明理由．并求当⊙O与DP相切时AM的长；ˆPM
（3）如图2，当△APD的外心Q在△AMP内部时（包括边界），求在点M移动过程中，点Q经过的路径的长；
（4）当△APD为等腰三角形，并且PD与⊙O相交时，直接写出⊙O截线段PD所得弦的长．（参考数据：sin49°≈，tan37°≈34，cos41°≈34）34
发布：2025/5/25 19:0:2组卷：173引用：1难度：0.1 -
3．如图1，在⊙O中，AB和CD是两条弦，且AB⊥CD，垂足为点E，连接BC，过A作AF⊥BC于F，交CD于点G；
（1）求证：GE=DE；
（2）如图2，连接AC、OC，求证：∠OCF+∠CAB=90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，OC交AF于点N，连接EF、EN、DN，若OC∥EF，EN⊥AF，DN=2，求NO的长．17
发布：2025/5/25 19:30:2组卷：90引用：1难度：0.1
