已知函数f（x）=
x
2
+
ax
-
b
e
x
（
x
∈
R
）
的一个极值点是x=2．
（Ⅰ）求a与b的关系式，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a＞0，g（x）=a²e^x-2，若存在x₁，x₂∈[0，3]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜
2
e
2
成立，求实数a的取值范围．

【答案】（Ⅰ）b=a≠-2；
当a＜-2时，f（x）的单调递增区间为（2，-a），单调递减区间为（-∞，2）和（-a，+∞）；
当a＞-2时，f（x）的单调递增区间为（-a，2），单调递减区间为（-∞，-a）和（2，+∞）．
（Ⅱ）（0，3）．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：206引用：3难度：0.2

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1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
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1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
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e
x
-
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+
x
．
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（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
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已知函数f（x）=x2+ax-bex（x∈R）的一个极值点是x=2．（Ⅰ）求a与b的关系式，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a＞0，g（x）=a2ex-2，若存在x1，x2∈[0，3]，使得|f（x1）-g（x2）|＜2e2成立，求实数a的取值范围．