如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（-4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若线段DE将△AOC分成面积比为1：3两部分，求点P的坐标；
（3）如图2，连接OP，是否存在点P，使得∠OPD=2∠CAO，若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=-x2-x+2；
（2）P的坐标为（-2，3）或（2-4，5-6）；
（3）存在点P，使得∠OPD=2∠CAO，点P的横坐标为．
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（2）P的坐标为（-2，3）或（2
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（3）存在点P，使得∠OPD=2∠CAO，点P的横坐标为
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【解答】
【点评】
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发布：2025/5/21 19:0:1组卷：603引用：5难度：0.1
相似题
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1．如图，抛物线y=ax2-2x+c与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB'C，点B'恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当△AB'G面积最大时点G的横坐标；
（3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得△BPQ为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式．
发布：2025/5/23 16:30:1组卷：1756引用：7难度：0.1 -
2．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-5），其中x1，x2是方程x2-4x-5=0的两个根．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴是否存在点F，使以A，D，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
发布：2025/5/23 16:0:1组卷：388引用：4难度：0.3 -
3．已知抛物线L：
经过点（-2，3）和（6，7），与x轴的交点为A、B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C．y=12x2+bx+c
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）将抛物线L平移，得到抛物线L'，且点A经过平移后得到的对应点为A'．要使△A'BC是以BC为斜边的等腰直角三角形，求满足条件的抛物线L'的函数表达式．发布：2025/5/23 17:0:1组卷：417引用：2难度：0.1
