椭圆Γ：x29+y24=1．
（1）若抛物线C的焦点与Γ的焦点重合，求C的标准方程；
（2）若Γ的上顶点A、右焦点F及x轴上一点M构成直角三角形，求点M的坐标；
（3）若O为Γ的中心，P为Γ上一点（非Γ的顶点），过Γ的左顶点B，作BQ∥OP，BQ交y轴于点Q，交Γ于点N，求证：BN•BQ=2OP2．
x
2
9
y
2
4
BN
BQ
OP
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）y2=±4；
（2）M（0，0）或（-，0）；
（3）证明：由B（-3，0），BQ∥OP，
设直线BQ的方程为x=my-3，直线OP的方程为x=my，
由
，消x可得（4m2+9）y2-24my=0，
解得y=0，或y=，
则xN=-3=
则N点的坐标为（，），
对于直线方程x=my-3，令x=0，可得y=
∴Q（0，），
∴•=（+3，）•（3，）=+=
由
，解得=，=
解得
或
，
∴22=2（+）=2（+）=，
∴•=22．
5
（2）M（0，0）或（-
4
5
5
（3）证明：由B（-3，0），BQ∥OP，
设直线BQ的方程为x=my-3，直线OP的方程为x=my，
由
x 2 9 + y 2 4 = 1 |
x = my - 3 |
解得y=0，或y=
24
m
4
m
2
+
9
则xN=
24
m
2
4
m
2
+
9
12
m
2
-
27
4
m
2
+
9
则N点的坐标为（
12
m
2
-
27
4
m
2
+
9
24
m
4
m
2
+
9
对于直线方程x=my-3，令x=0，可得y=
3
m
∴Q（0，
3
m
∴
BN
BQ
12
m
2
-
27
4
m
2
+
9
24
m
4
m
2
+
9
3
m
72
m
2
4
m
2
+
9
72
4
m
2
+
9
72
（
m
2
+
1
）
4
m
2
+
9
由
x 2 9 + y 2 4 = 1 |
x = my |
y
2
p
36
4
m
2
+
9
x
2
p
36
m
2
4
m
2
+
9
解得
x = 6 m 4 m 2 + 9 |
y = 6 4 m 2 + 9 |
x = - 6 m 4 m 2 + 9 |
y = - 6 4 m 2 + 9 |
∴2
OP
x
2
p
y
2
p
36
4
m
2
+
9
36
m
2
4
m
2
+
9
72
（
m
2
+
1
）
4
m
2
+
9
∴
BN
BQ
OP
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：236引用：2难度：0.5
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