椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：1a2+1b2等于定值；
（Ⅱ）当椭圆的离心率e∈[33，22]时，求椭圆长轴长的取值范围．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
OP
⊥
OQ
1
a
2
+
1
b
2
e
∈
[
3
3
，
2
2
]
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】（Ⅰ）证明：
消去y得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0
Δ=4a4-4（a2+b2）a2（1-b2）＞0，a2+b2＞1
设点P（x1，y1），Q（x2，y2），
则，
由，x1x2+y1y2=0，
即x1x2+（1-x1）（1-x2）=0
化简得2x1x2-（x1+x2）+1=0，
则
即a2+b2=2a2b2，故；
（Ⅱ）．
b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 |
x + y - 1 = 0 |
消去y得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0
Δ=4a4-4（a2+b2）a2（1-b2）＞0，a2+b2＞1
设点P（x1，y1），Q（x2，y2），
则
x
1
+
x
2
=
2
a
2
a
2
+
b
2
，
x
1
x
2
=
a
2
（
1
-
b
2
）
a
2
+
b
2
由
OP
•
OQ
=
0
即x1x2+（1-x1）（1-x2）=0
化简得2x1x2-（x1+x2）+1=0，
则
2
a
2
（
1
-
b
2
）
a
2
+
b
2
-
2
a
2
a
2
+
b
2
+
1
=
0
即a2+b2=2a2b2，故
1
a
2
+
1
b
2
=
2
（Ⅱ）
[
5
，
6
]
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：151引用：9难度：0.1
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