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如图，已知向量
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，可构成空间向量的一个基底，若
a
=
（
a
1
，
a
2
，
a
3
）
，
b
=
（
b
1
，
b
2
，
b
3
）
，
c
=
（
c
1
，
c
2
，
c
3
）
．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算
a
×
b
=
（
a
2
b
3
-
a
3
b
2
，
a
3
b
1
-
a
1
b
3
，
a
1
b
2
-
a
2
b
1
）
，显然
a
×
b
的结果仍为一向量，记作
p

（1）求证：向量
p
为平面OAB的法向量；
（2）若
a
=
（
1
，-
1
，
7
）
，
b
=
（
0
，-
3
，
0
）
，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与
|
a
×
b
|
的大小；
（3）将四边形OADB按向量
OC
=
c
平移，得到一个平行六面体OADB-CA₁D₁B₁，试判断平行六面体的体积V与
|
（
a
×
b
）
•
c
|
的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用）

【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；类比推理．

【答案】（1）证明见解析．
（2）四边形OADB的面积为S=|

|．
（3）平行六面体的体积为V=|（

）•

|．

【解答】

【点评】

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发布：2024/5/23 20:38:36组卷：191引用：4难度：0.4

相似题

1．对于非零空间向量
a
，
b
，
c
，现给出下列命题，其中为真命题的是（　　）

A．若

•

＜

，则

，

的夹角是钝角

B．若

（

，

）

，

（

，-

，

）

，则

⊥

C．若

•

，则

D．若

（

，

）

，

（

，

）

，

（

，

）

，则

，

可以作为空间中的一组基底

发布：2024/12/29 11:0:2组卷：432引用：6难度：0.7

解析

2．
{
a
，
b
，
c
}
是空间的一组基底，则可以与向量
p
=
a
+
b
，
q
=
a
+
2
b
构成基底的向量（　　）
A．
a
B．
b
C．
a
+
c
D．
a
-
b
发布：2024/12/16 11:30:2组卷：148引用：2难度：0.7
解析
3．已知空间四边形ABCO中，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，点N在BC上，且CN=2NB，M为OA中点，则
MN
等于（　　）
A．
1
2
a
-
2
3
b
+
1
3
c
B．
-
1
2
a
+
2
3
b
+
1
3
c
C．
1
2
a
+
1
3
b
-
1
2
c
D．
-
1
2
a
+
2
3
b
-
1
3
c
发布：2024/12/29 3:30:1组卷：91引用：4难度：0.7
解析

A． 1 2 a - 2 3 b + 1 3 c	B． - 1 2 a + 2 3 b + 1 3 c
C． 1 2 a + 1 3 b - 1 2 c	D． - 1 2 a + 2 3 b - 1 3 c

1．对于非零空间向量a，b，c，现给出下列命题，其中为真命题的是（ ）

2．{a，b，c}是空间的一组基底，则可以与向量p=a+b，q=a+2b构成基底的向量（ ）

3．已知空间四边形ABCO中，OA=a，OB=b，OC=c，点N在BC上，且CN=2NB，M为OA中点，则MN等于（ ）

1．对于非零空间向量
a
，
b
，
c
，现给出下列命题，其中为真命题的是（　　）

2．
{
a
，
b
，
c
}
是空间的一组基底，则可以与向量
p
=
a
+
b
，
q
=
a
+
2
b
构成基底的向量（　　）

3．已知空间四边形ABCO中，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，点N在BC上，且CN=2NB，M为OA中点，则
MN
等于（　　）