已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=13x,一个焦点到该渐近线的距离为39．
（1）求C的方程；
（2）设A，B是直线x=-9上关于x轴对称的两点，直线y=k（x+9）与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上．
x
2
a
2
-
y
2
b
2
13
39
【考点】直线与双曲线的综合．
【答案】（1）-=1；
（2）证明：设A（-9，m），B（-9，-m），M（x1，y1），N（x2，y2），
由
可得（13-k2）x2-18k2x-81k2-39=0，
则x1+x2=，x1x2=，
kAM===k-，
kBN===k+，
由
，可得x=，
而+===，
所以x==-．
直线AM与BN的交点在定直线x=-上．
x
2
3
y
2
39
（2）证明：设A（-9，m），B（-9，-m），M（x1，y1），N（x2，y2），
由
y = k （ x + 9 ） |
13 x 2 - y 2 = 39 |
则x1+x2=
18
k
2
13
-
k
2
-
81
k
2
-
39
13
-
k
2
kAM=
y
1
-
m
x
1
+
9
k
（
x
1
+
9
）
-
m
x
1
+
9
m
x
1
+
9
kBN=
y
2
+
m
x
2
+
9
k
（
x
2
+
9
）
+
m
x
2
+
9
m
x
2
+
9
由
y = （ k - m x 1 + 9 ） （ x + 9 ） + m |
y = （ k + m x 2 + 9 ） （ x + 9 ） - m |
2
-
（
9
x
1
+
9
+
9
x
2
+
9
）
1
x
1
+
9
+
1
x
2
+
9
而
1
x
1
+
9
1
x
2
+
9
x
1
+
x
2
+
18
x
1
x
2
+
9
（
x
1
+
x
2
）
+
81
18
k
2
13
-
k
2
+
18
-
81
k
2
-
39
13
-
k
2
+
162
k
2
13
-
k
2
+
81
3
13
所以x=
2
-
27
13
3
13
1
3
直线AM与BN的交点在定直线x=-
1
3
【解答】
【点评】
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