综合与探究
问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到∠MDN，将∠MDN绕点D旋转，射线DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，如图1所示．
（1）操作发现：如图2，当E，F分别是AB，AC的中点时，试猜想线段DE与DF的数量关系是 DE=DFDE=DF，位置关系是 DE⊥DFDE⊥DF．
（2）类比探究：如图3，当E，F不是AB，AC的中点，但满足BE=AF时，判断△DEF的形状，并说明理由．
（3）拓展应用：①如图4，将∠MDN绕点D继续旋转，射线DM，DN分别与AB，CA的延长线交于E，F两点，满足BE=AF，△DEF是否仍然具有（2）中的情况？请说明理由；
②若在∠MDN绕点D旋转的过程中，射线DM，DN分别与直线AB，CA交于E，F两点，满足BE=AF，若AB=a,BE=b,则AE=a-b或a+ba-b或a+b（用含a,b的式子表示）．
【考点】几何变换综合题．
【答案】DE=DF；DE⊥DF；a-b或a+b
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：337引用：4难度：0.1
相似题
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1．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．
发布：2025/6/16 20:30:1组卷：7189引用：10难度：0.1 -
2．阅读下面材料，完成（1）～（3）题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，△ABC中，AC=BC=a,∠ACB=90°，点D在AB上，且AD=kAB（其中0＜k＜），直线CD绕点D顺时针旋转90°与直线CB绕点B逆时针旋转90°后相交于点E，探究线段DC、DE的数量关系，并证明．12
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现DC与DE相等”；
小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到DC与DE相等”
小强：“通过进一步的推理计算，可以得到BE与BC的数量关系”
老师：“保留原题条件，连接CE交AB于点O．如果给出BO与DO的数量关系，那么可以求出CO•EO的值”
（1）在图1中将图补充完整，并证明DC=DE；
（2）直接写出线段BE与BC的数量关系（用含k的代数式表示）；
（3）在图2中将图补充完整，若BO=DO，求CO•EO的值（用含a的代数式表示）．513发布：2025/6/16 18:30:2组卷：538引用：2难度：0.2 -
3．如图①，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，D是BC的中点．
小明对图①进行了如下探究：在直线AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转60°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在直线AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．
①∠BEP=；
②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是 ．
（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．
（3）当点P在直线AD上运动时，求AE的最小值．发布：2025/6/17 6:0:2组卷：133引用：2难度：0.3
