我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线．已知椭圆
C
1
：
x
2
4
+
y
2
b
2
=
1
（
0
＜
b
＜
2
）
，双曲线C₂是椭圆C₁的“姊妹”圆锥曲线，e₁，e₂分别为C₁，C₂的离心率，且
e
1
e
2
=
15
4
，点M，N分别为椭圆C₁的左、右顶点．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）设过点G（4，0）的动直线l交双曲线C₂右支于A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为k_AM，k_BN．
（i）试探究k_AM与k_BN的比值
k
AM
k
BN
是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求
w
=
k
2
AM
+
2
3
k
BN
的取值范围．

【答案】（1）

-y²=1；
（2）（i）-

；（ii）（-

，-

）∪（

，

）．

【解答】

【点评】

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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：488引用：12难度：0.4

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1．点P在以F₁，F₂为焦点的双曲线
E
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（a＞0，b＞0）上，已知PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2|PF₂|，O为坐标原点．
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P₁，P₂两点，且
O
P
1
•
O
P
2
=
-
27
4
，
2
P
P
1
+
P
P
2
=
0
，求双曲线E的方程；
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且
MQ
=
λ
QN
（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使
F
1
F
2
⊥
（
GM
-
λ
GN
）
？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7
解析
2．已知两个定点坐标分别是F₁（-3，0），F₂（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于2
5
．
（1）求曲线C的方程；
（2）过F₁（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF₂的面积．
发布：2024/12/29 10:30:1组卷：96引用：1难度：0.9
解析
3．若过点（0，-1）的直线l与抛物线y²=2x有且只有一个交点，则这样的直线有（　　）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
发布：2024/12/29 10:30:1组卷：26引用：5难度：0.7
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2．已知两个定点坐标分别是F1（-3，0），F2（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于25．（1）求曲线C的方程；（2）过F1（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF2的面积．