综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作探究：
（1）如图1，矩形纸片ABCD中，AD=2，AB=3，将矩形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将矩形纸片ABCD展开，得到折痕MN，连接CM，折叠△DCM，点D的对应点为点D′，过D′作D′G⊥AD于点G，则D′G的长度为 3232．
迁移探究：
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
操作一：如图①，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片ABCD展开，得到折痕MN；
操作二：如图②，将正方形纸片ABCD的右上角沿MC折叠，得到点D的对应点D′；
操作三：如图③，将正方形纸片ABCD的左上角沿MD'折叠再展开，折痕MD与边AB交于点P．
问题解决：请在图③中解决下列问题：
（2）求证：BP=D′P；
（3）求证：AP：BP=2：1．
拓展探究：
（4）在图③的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿CD'折叠再展开，折痕CD'与边AB交于点Q，如图④．试探究：PQAB=512512（直接写出结果，不需证明）．
AB
=
3
3
2
3
2
PQ
AB
5
12
5
12
【考点】相似形综合题．
【答案】；
3
2
5
12
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/21 13:0:1组卷：153引用：1难度：0.4
相似题
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1．【感知】
小明同学复习“相似三角形”的时候遇到了这样的一道题目：
小明同学分析后发现，∠ADC是△ABD的外角，可得∠ADE+∠EDC=∠BAD+∠B，再结合已知条件可以得到△ABD∽△DCE．请根据小明的分析，结合图①，写出完整的证明过程．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，过点D作∠ADE=∠B，交AC于点E．求证：△ABD∽△DCE．
【探究】
在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，D为BC上一点．
（1）如图②，过点D作∠ADE=∠B，交AC于点E．当DE∥AB时，AD的长为 ．
（2）如图③，过点D作∠FDE=∠B，分别交AB、AC于点F、E．当CD=4时，BF的长的取值范围为 ．
发布：2025/6/14 15:30:1组卷：349引用：5难度：0.3 -
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,动点P从点C出发沿着C-B-A的方向以2cm/s的速度向终点A运动，另一动点Q同时从点A出发沿着AC方向以1cm/s的速度向终点C运动，P、Q两点同时到达各自的终点，设运动时间为t（s）．△APQ的面积为S cm2．
（1）求BC的长；
（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）当t为多少秒时，以P、C、Q为顶点的三角形和△ABC相似？发布：2025/6/14 19:0:1组卷：227引用：5难度：0.4 -
3．在四边形ABCD中，∠EAF=
∠BAD（E、F分别为边BC、CD上的动点），AF的延长线交BC延长线于点M，AE的延长线交DC延长线于点N．12
（1）如图①，若四边形ABCD是正方形，求证：△ACN∽△MCA；
（2）如图②，若四边形ABCD是菱形．
①（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；
②若AB=8，AC=4，连接MN，当MN=MA时，求CE的长．
发布：2025/6/14 19:0:1组卷：1404引用：3难度：0.1
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