【问题提出】在由m×n（m×n＞1）个小正方形（边长为1）组成的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数与m,n有何关系？
【问题探究】
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：
当m,n互质（m,n除1外无其他公因数）时，观察图1并完成下表：
| 矩形横长m | 2 | 3 | 3 | 5 | 4 | 5 | … |
| 矩形纵长n | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | … |
| 矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f | 2 | 3 | 4 | 6 | 6 | x | … |
7
7
．结论：当m,n互质时，在m×n的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m,n之间的关系式是
f=m+n-1
f=m+n-1
．探究二：当m,n不互质时，不妨设m=ka,n=kb（a,b,k为正整数，且a,b互质），观察图2并完成下表：
| a | 2 | 3 | 3 | 5 | 2 | 3 | … |
| b | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | … |
| k | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | … |
| 矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f | 4 | 6 | 8 | y | 6 | z | … |
12
12
，z=9
9
．结论：当m,n不互质时，若m=ka,n=kb（a,b,k为正整数，且a,b互质）．在m×n的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a,b,k之间的关系式是
f=k（a+b-1）
f=k（a+b-1）
．【模型应用】
一个由边长为1的小正方形组的长为630，宽为490的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形的个数是
1050
1050
个．【模型拓展】
如图3，在一个由48个棱长为1的小正方体组成的长方体中，经过顶点A，B的直接穿过的小正方体的个数是
6
6
个．
【考点】规律型：图形的变化类；勾股定理．
【答案】7；f=m+n-1；12；9；f=k（a+b-1）；1050；6
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2025/5/25 19:30:2组卷：131引用：1难度：0.7
相似题
-
1．如图，将一条长度为1的线段三等分，然后取走其中的一份，称为第一次操作；再将余下的每一条线段三等分，然后取走其中一份，称为第二次操作；…如此重复操作，当第n次操作结束时，被取走的所有线段长度之和为．
发布：2025/5/25 21:0:1组卷：829引用：45难度：0.7 -
2．如图是用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍；拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；…照这样拼图，则第4个图形需要 根火柴棍，第n个图形需要 根火柴棍．
发布：2025/5/26 2:30:2组卷：161引用：4难度：0.7 -
3．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第10个图案中涂有阴影的小正方形的个数为（ ）
发布：2025/5/25 19:30:2组卷：652引用：4难度：0.6
