如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为边AB上一点，∠ACD=∠B．
（1）求证：AC2=AD•AB；
（2）如图2，过点A作AM⊥CD于M，交BC于点E，若AB=4AD，求AMME的值；
（3）如图，N为CD延长线上一点，连接BN，且∠NBD=2∠ACD，若tan∠ACD=1n（n＞1），直接写出NDDC的值（用含n的代数式表示）．
AM
ME
tan
∠
ACD
=
1
n
（
n
＞
1
）
ND
DC
【考点】相似形综合题．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）；
（3）．
（2）
AM
ME
=
2
3
（3）
ND
DC
=
2
（
n
2
-
1
）
n
2
+
1
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/22 10:30:1组卷：557引用：4难度：0.1
相似题
-
1．问题背景：某学习小组正在研究如下问题：如图1所示，四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，且点E、G分别在边BC、CD上，连接DE、BG，点M是BG中点，连接CM，试猜测CM与DE的数量关系与位置关系，并加以证明．
解决问题：小华从旋转的角度提出一个问题：如图2，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转一定角度，其他条件不变，此时“问题背景”中的结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．
拓展延伸：小刚提出了一个更加一般化的问题：如图3所示，▱ABCD∽▱ECGF，且，其他条件不变，此时CM与DE又有怎样的数量关系？请直接写出结果．ABBC=ab
发布：2025/5/22 10:30:1组卷：242引用：4难度：0.1 -
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=3．点D是边AC上一动点（不与A、C重合），联结BD，过点C作CF⊥BD，分别交BD、AB于点E、F．
（1）当CD=2时，求∠ACF的正切值；
（2）设CD=x,，求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域；AFBF=y
（3）联结FD并延长，与边BC的延长线相交于点G，若△DGC与△BAC相似，求的值．AFBF
发布：2025/5/22 11:30:2组卷：530引用：1难度：0.4 -
3．综合与实践
我们在没有量角器或三角尺的情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有30°角的直角三角形．
实践操作：第一步：如图①，矩形纸片ABCD的边长AB=，将矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H．3
第二步：如图②，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线再次折叠，使CD落在对角线CA上，点D的对应点D'恰好与点H重合，折痕为CG，将矩形纸片展平，连接GH．
问题解决：
（1）在图②中，sin∠ACB=，=；EGCG
（2）在图②中，CH2=CG•；从图②中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论；
拓展延伸：
（3）将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点D'落在矩形的内部或一边上，设∠DCD'=a,若0°＜a≤90°，连接D'A，D'A的长度为m,则m的取值范围是 ．
发布：2025/5/22 9:30:1组卷：681引用：7难度：0.1
