回旋加速器的示意图如图所示。它由两个铝制D型金属扁盒组成，两个D形盒正中间开有一条狭缝；两个D型盒处在匀强磁场中并接在高频交变电源上。在D₁盒中心A处有粒子源，它产生并发出带电粒子，经狭缝电压加速后，进入D₂盒中。在磁场力的作用下运动半个圆周后，垂直通过狭缝，再经狭缝电压加速；为保证粒子每次经过狭缝都被加速，设法使交变电压的周期与粒子在狭缝及磁场中运动的周期一致。如此周而复始，速度越来越大，运动半径也越来越大，最后到达D型盒的边缘，以最大速度被导出。已知某粒子所带电荷量为q,静止时质量为m₀，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D型盒的半径为R，设狭缝很窄，粒子通过狭缝的时间可以忽略不计。设该粒子从粒子源发出时的初速度为零，不计粒子重力和粒子间的相互作用力。
（1）忽略相对论效应，求
①交变电压的周期T；
②粒子被加速后获得的最大动能E_km；
（2）人们使用早期制造的回旋加速器加速带电粒子时发现，粒子能量达到25～30MeV后，就很难再加速了。原因是：按照狭义相对论，粒子的质量m随着速度v的增加而增大（具体关系为m=

m

0

1

-

（

v

c

）

2

，c为真空中的光速），质量的变化会导致其回转周期的变化，从而破坏了交变电压的周期与粒子在磁场中运动周期的一致性（若将m₀换成m=

m

0

1

-

（

v

c

）

2

后，粒子在磁场中运动的周期公式仍然成立）。已知：在高速运动中，动能定理仍然成立，只不过物体的动能表达式需要修改为E_k=mc²-m₀c²．考虑相对论效应后，适当调整交变电压的周期，可以使粒子获得更大的动能。
①求粒子第n次通过狭缝时，交变电压的周期T_n；（注：结果用U、n、B、m₀、q、c和π表示）
②若交变电压的最终周期为T_m，求粒子被加速后获得的最大动能E_km'（注：结果用Tm、B、q、m₀、c和π表示）。