已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，
S
n
=
a
n
（
a
n
+
1
）
2
．
（1）计算a₁，a₂，a₃，猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明数列{a_n}的通项公式；
（3）证明不等式
1
a
1
2
+
1
a
2
2
+
1
a
3
2
+
…
+
1
a
n
2
＜
7
4
对任意n∈N^*恒成立．

【答案】（1）a₁=1，a₂=2，a₃=3，a_n=n，
（2）证明详见解答，（3）证明详见解答．

【解答】

【点评】

声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。

发布：2024/6/27 10:35:59组卷：382引用：2难度：0.5

相似题

1．在数列{a_n}中，
a
1
=
1
，
a
n
+
1
=
2
a
n
2
+
a
n
（
n
∈
N
*
）
．
（Ⅰ）分别求出a₂，a₃，a₄，并根据上述结果猜想这个数列的通项公式；
（Ⅱ）请用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．
发布：2024/12/28 23:30:2组卷：44引用：2难度：0.6
解析
2．已知点P_n（a_n，b_n）满足a_n+1=a_nb_n+1，b_n+1=
b
n
1
-
4
a
2
n
，且点P₁的坐标为（1，-1）．
（1）求过点P₁、P₂的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于任意n∈N，n≥1，点P_n都在（1）中的直线l上；
（3）试求数列{a_n}、{b_n}的通项公式．
发布：2024/8/15 5:0:1组卷：158引用：1难度：0.4
解析
3．如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），⋯，P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜⋯＜y_n）是曲线C：y²=3x（y≥0）上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，⋯，n）在x轴的正半轴上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A₀是坐标原点）．
（1）求a₁、a₂、a₃的值及数列{a_n}的递推公式；
（2）猜想点A_n（a_n，0）的横坐标a_n关于n的表达式，并用数学归纳法证明．
发布：2024/7/13 8:0:9组卷：51引用：2难度：0.5
解析

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，Sn=an（an+1）2．（1）计算a1，a2，a3，猜想数列{an}的通项公式；（2）用数学归纳法证明数列{an}的通项公式；（3）证明不等式1a12+1a22+1a32+…+1an2＜74对任意n∈N*恒成立．