已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为23，直线y=k（x-1）（k≠0）经过E的长轴的一个四等分点，且与E交于P，Q两点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）记线段PQ为直径的圆为⊙M，判断点A（2，0）与⊙M的位置关系，说明理由．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
【考点】直线与圆锥曲线的综合；点与圆的位置关系．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）点A在⊙M外．理由如下：
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由
得（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0，
所以，Δ=（-8k2）2-4（1+4k2）（4k2-4）=48k2+16＞0，
所以x1+x2=，x1•x2=．
因为=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），
所以•=（x1-2）（x2-2）+y1•y2，
=（1+k2）x1•x2-（2+k2）（x1+x2）+4+k2，
=-+4+k2，
=．
因为k≠0，
所以•＞0．
∴cos∠PAQ＞0，
∴∠PAQ为锐角，
所以点A在⊙M外．
x
2
4
+
y
2
=
1
（Ⅱ）点A在⊙M外．理由如下：
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由
y = k （ x - 1 ） |
x 2 + 4 y 2 = 4 |
所以，Δ=（-8k2）2-4（1+4k2）（4k2-4）=48k2+16＞0，
所以x1+x2=
8
k
2
1
+
4
k
2
4
k
2
-
4
1
+
4
k
2
因为
AP
AQ
所以
AP
AQ
=（1+k2）x1•x2-（2+k2）（x1+x2）+4+k2，
=
4
（
k
2
+
1
）
（
k
2
-
1
）
1
+
4
k
2
8
k
2
（
2
+
k
2
）
1
+
4
k
2
=
k
2
1
+
4
k
2
因为k≠0，
所以
AP
AQ
∴cos∠PAQ＞0，
∴∠PAQ为锐角，
所以点A在⊙M外．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：54引用：3难度：0.5
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．5
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