小华根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究：在▱ABCD中，点M在CD边上，且AD=AM，点E是线段DM上任意一点，连接AE．将△ADE沿AE翻折得到△FAE．
（1）【问题解决】如图1．△ADE沿AE翻折后，点F恰好与点M重合，已知∠ADC=60°，且AD=2，则DM=22；
（2）【问题探究】如图2，△ADE沿AE翻折后，点F落在AB边上．
①判断四边形ADEF的形状，并证明；
②已知∠ADC=45°，AB=4，MC=2DE，求四边形ABCD的面积；
③如图3，在②的条件下，将四边形DAFE沿DA方向平移，得到四边形D′A′F′E′，连接ED′、MA′、A′F，当四边形ED′A′M的周长最小时，∠AFA′=22.5°22.5°，平移距离AA′=2-22-2．
MC
=
2
DE
2
2
【考点】四边形综合题．
【答案】2；22.5°；2-
2
【解答】
【点评】
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发布：2025/6/4 9:0:1组卷：122引用：3难度：0.2
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1．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α°到正方形AEFG．
（1）如图1，当0°＜α＜90°时，EF与CD相交于点H．求证：DH=EH；
（2）如图2，当0°＜α＜90°，点F、D、B正好共线时，
①求∠AFB度数；
②若正方形ABCD的边长为1，求CH的长：
（3）连接DE，EC，FC．如图3，正方形AEFG在旋转过程中，是否存在实数m使AE2=DE2+mFC2-EC2总成立？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
发布：2025/6/8 13:30:1组卷：67引用：1难度：0.2 -
2．定义：四边形ABCD中，将对角线AC和BD的平方和，即AC2+BD2的值称为四边形ABCD的“特征数”．
（1）①在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，则菱形ABCD的“特征数”=；
②正方形EFGH的“特征数”等于16，则边长=；
（2）平行四边形ABCD中，AB=a,BC=b,试证明：平行四边形ABCD的“特征数”为2a2+2b2；
（3）利用（2）的结论解决下列问题：
平行四边形ABCD中，，BC=6，且AC⋅BD=60，AC＜BD，试求AC和BD的长度．AB=42
发布：2025/6/8 15:0:1组卷：373引用：3难度：0.2 -
3．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，E在AD上，DE=3，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着BC边向终点C运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒．
（1）过P作PF⊥AD，垂足为F，用含t的式子表示：EF=，PC=；
（2）当t=2时，判断△PEC是否是直角三角形，并说明理由；
（3）当∠PEC=∠DEC时，求t的值．发布：2025/6/8 12:30:1组卷：43引用：3难度：0.4
