如图1甲所示为法拉第发明的圆盘发电机，图1乙是其原理示意图，其中的铜质圆盘安装在水平的铜轴上，铜质圆盘的圆心与铜轴重合，它的边缘正好在两磁极之间，两块铜片C、D分别与圆盘的转动轴和边缘良好接触，用导线将两块铜片与电阻R连接起来形成闭合回路，在圆盘绕铜轴匀速转动时，通过电阻R的电流是恒定的。为讨论问题方便，将磁场简化为水平向右磁感应强度为B的匀强磁场；将圆盘匀速转动简化为一根始终在匀强磁场中绕铜轴匀速转动、长度为圆盘半径的导体棒，其等效电阻为r。除了R和r以外，其他部分电阻不计。已知圆盘半径为a,当其以角速度ω匀速转动时，产生的感应电动势E=

1

2

B

ω

a

2

。
（1）圆盘转动方向如图乙所示，求通过电阻R的电流大小，并说明其流向；
（2）若各接触点及转轴的摩擦均可忽略不计，圆盘匀速转动一圈，外力需要做多少功；
（3）圆盘匀速转动时，圆盘简化的导体棒的内部电子因棒转动而在匀强磁场中受沿棒方向的洛伦兹力的分力，其大小f随电子与圆心距离x变化的图象如图2所示，试从电动势的定义式论证圆盘匀速转动产生的感应电动势E=

1

2

B

ω

a

2

。