本学期，我们利用“构造轴对称图形——等边三角形”证明了定理：定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
证明过程如下：
| 已知：如图1-10（1），△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°．求证：BC= 1 2  证明：如图1-10（2），延长BC至点D，使CD=BC，连接AD． ∵∠ACB=90°，∠BAC=30°． ∴∠ACD=90°，∠B=60°． ∵AC=AC， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． ∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）． ∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三 角形）． ∴BC= 1 2 1 2 |
（1）如图1-10（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，AB=4，则BC=
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；【类比证明】
（2）如图1，请类比以上证明过程，证明：在Rt△ABC中，若∠C=90°，AB=2BC，则∠A=30°；
【迁移创新】
构造具有特殊性质的轴对称图形（如等边三角形），从而利用轴对称图形的性质证明结论是几何问题的数学证明中常见的思路．请你尝试解决以下问题．
（3）如图2，等边△ABC中，延长BA，BC，使AD=BE，连接DC，DE．求证：DC=DE．
【考点】三角形综合题．
【答案】2
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/30 11:0:1组卷：626引用：4难度：0.5
相似题
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1．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，动点P在线段BC上，点Q在线段AB上，且PQ=BQ，延长QP交射线AC于点D．
（1）求证：QA=QD；
（2）设∠BAP=α，当2tanα是正整数时，求PC的长；
（3）作点Q关于AC的对称点Q′，连接QQ′，AQ′，DQ′，延长BC交线段DQ′于点E，连接AE，QQ′分别与AP，AE交于点M，N（如图2所示）．若存在常数k,满足k•MN=PE•QQ′，求k的值．
发布：2025/6/16 4:0:2组卷：233引用：3难度：0.2 -
2．如图，在平面直角坐标系中，A（a,0），B（b,0），且满足，C在第三象限，坐标为（n+1，n），连接AC，BC，（a+5）2+b-1=0
（1）请直接写出：a=，b=，AB=，S△ABC=（用含n的代数式表示）；
（2）在线段AB上取一点D，连接CD并延长，交y轴于点E，连接AE，BE，
①若S△DCA=2S△DEA，求点E坐标，用含n的代数式表示．
②若S△ADC=S△DBE，求点E坐标．发布：2025/6/15 14:0:2组卷：144引用：1难度：0.1 -
3．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是CB延长线上一点，由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），连接PQ交AB于D，过P作PE⊥AB于E．若两点同时出发，以相同的速度每秒1个单位运动，运动时间为t.
（1）当∠PQC=30°时，求t的值；
（2）求证：PD=DQ；
（3）当P，Q在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．发布：2025/6/15 6:30:1组卷：151引用：1难度：0.4
