已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率e=22．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的两点A，B，与圆x2+y2=23相切于点M．
（i）证明：OA⊥OB（O为坐标原点）；
（ii）设λ=|AM||BM|，求实数λ的取值范围．
x
2
a
2
y
2
b
2
2
2
2
3
|
AM
|
|
BM
|
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）（i）∵直线l：y=kx+m与圆x2+y2=相切，
∴，即．…（5分）
由
，消去y并整理得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则．…（7分）
∵．
=
=
=，
∴OA⊥OB．
（ii）．
x
2
2
+
y
2
=
1
（Ⅱ）（i）∵直线l：y=kx+m与圆x2+y2=
2
3
∴
d
=
|
m
|
1
+
k
2
=
2
3
m
2
=
2
3
（
1
+
k
2
）
由
y = kx + m |
x 2 2 + y 2 = 1 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
x
1
+
x
2
=
-
4
km
1
+
2
k
2
，
x
1
x
2
=
2
m
2
-
2
1
+
2
k
2
∵
OA
•
OB
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
x
1
x
2
+
（
k
x
1
+
m
）
（
k
x
2
+
m
）
=
（
1
+
k
2
）
x
1
x
2
+
km
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
=
（
1
+
k
2
）
•
2
m
2
-
2
1
+
2
k
2
+
km
（
-
4
km
1
+
2
k
2
）
+
m
2
=
3
m
2
-
2
k
2
-
2
1
+
2
k
2
=
2
（
1
+
k
2
）
-
2
k
2
-
2
1
+
2
k
2
=
0
∴OA⊥OB．
（ii）
1
2
≤
λ
≤
2
【解答】
【点评】
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