如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-5与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=ax2+4ax+c经过点A、点B．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点的坐标；
（2）若在第三象限的抛物线上有一动点M，当点M到直线AB的距离最大时，求点M的坐标；
（3）点C，D分别为线段AO，线段AB上的点，且BD=2AC，连接CD．将线段CD绕点D顺时针旋转90度，点C旋转后的对应点为点E，连接OE．当线段OE的长最小时，请直接写出直线DE的函数表达式．
2
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=x2+4x-5，顶点为（-2，-9）；
（2）M（-，-）；
（3）y=x-．
（2）M（-
5
2
35
4
（3）y=
1
3
7
3
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/23 18:30:2组卷：700引用：2难度：0.3
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1．如图抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求△ACD的面积；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/24 3:0:1组卷：2830引用：9难度：0.1 -
2．已知抛物线y=x2．
（1）设P为直线y=x在第一象限图象上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，将△OPM沿OP翻折，得到△OPN（如图1所示），若点N恰好在抛物线上，求点N的坐标；12
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线在第一象限图象上的两个动点，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D（如图2所示），记△OAB的面积为S1，梯形ABDC的面积为S2，若5S1=2S2，CD=2，求直线AB的解析式．（参考公式：a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2），a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）
发布：2025/5/24 3:0:1组卷：213引用：1难度：0.3 -
3．如图，直线
与x轴、y轴交于点A、C，抛物线y=32x+3经过点A、C，与x轴的另一个交点是B，点P是直线AC上的一动点．y=-12x2+bx+c
（1）求抛物线的解析式和点B的坐标；
（2）如图1，求当OP+PB的值最小时点P的坐标；
（3）如图2，过点P作PB的垂线交y轴于点D，是否存在点P，使以P、D、B为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/24 3:0:1组卷：406引用：1难度：0.3
