当前位置： 2023年北京市西城区高考数学二模试卷> 试题详情

给定奇数n≥3，设A₀是n×n的数阵．a_ij表示数阵第i行第j列的数，a_ij=
1
或
-
1
，
i
≠
j
,
0
，
i
=
j
,
且a_ij=a_ji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n）．定义变换φ_t为“将数阵中第t行和第t列的数都乘以-1”，其中t∈{1，2，…，n}．
设T=（t₁，t₂，…，t_s），t_r∈{1，2，…，n}，r=1，2，…，s（s∈N^*）．将A₀经过
φ
t
1
变换得到A₁，A₁经过
φ
t
2
变换得到A₂，…，A_s-1经过
φ
t
s
变换得到A_s．记数阵A_r中1的个数为
T
A
0
（r）．
（Ⅰ）当n=3时，设A₀=
0
1
-
1
1
0
1
-
1
1
0
，T=（1，3），写出A₁，A₂，并求
T
A
0
（
1
）
，
T
A
0
（2）；
（Ⅱ）当n=5，s≥2时，对给定的数阵A₀，证明：
T
A
0
（
2
）
-
T
A
0
（1）是4的倍数；
（Ⅲ）证明：对给定的数阵A₀，总存在T，使得
T
A
0
（
s
）
≤
（
n
-
1
）
2
2
．

【考点】数列的应用；数列的求和；进行简单的合情推理．

【答案】（Ⅰ）

（

）

，

（

）

．
（Ⅱ）证明见解答．
（Ⅲ）证明见解答．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：295引用：2难度：0.3

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1．2023年是我国规划的收官之年，2022年11月23日全国22个省份的832个国家级贫困县全部脱贫摘帽．利用电商平台，开启数字化科技优势，带动消费扶贫起到了重要作用．阿里研究院数据显示，2013年全国淘宝村仅为20个，通过各地政府精准扶贫，与电商平台不断合作创新，2014年、2015年、2016年全国淘宝村分别为212个、779个、1311个，从2017年起比上一年约增加1000个淘宝村，请你估计收官之年全国淘宝村的数量可能为（　　）
A．4212个 B．4311个 C．4779个 D．8311个
发布：2024/12/18 13:30:2组卷：94引用：1难度：0.9
解析
2．已知{a_n}，{b_n}为两非零有理数列（即对任意的i∈N^*，a_i，b_i均为有理数），{d_n}为一无理数列（即对任意的i∈N^*，d_i为无理数）．
（1）已知b_n=-2a_n，并且（a_n+b_nd_n-a_nd_n²）（1+d_n²）=0对任意的n∈N^*恒成立，试求{d_n}的通项公式．
（2）若{d_n³}为有理数列，试证明：对任意的n∈N^*，（a_n+b_nd_n-a_nd_n²）（1+d_n²）=1恒成立的充要条件为
a
n
=
1
1
+
d
n
6
b
n
=
d
n
3
1
+
d
n
6
．
（3）已知sin2θ=
24
25
（0＜θ＜
π
2
），d_n=
3
tan
（
n
•
π
2
+
（
-
1
）
n
θ
）
，试计算b_n．
发布：2024/12/22 8:0:1组卷：194引用：3难度：0.1
解析
3．对于数列{a_n}，把a₁作为新数列{b_n}的第一项，把a_i或-a_i（i=2，3，4，…，n）作为新数列{b_n}的第i项，数列{b_n}称为数列{a_n}的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，-2，-3，4，5．已知数列{b_n}为数列{
1
2
n
}（n∈N^*）的生成数列，S_n为数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）写出S₃的所有可能值；
（Ⅱ）若生成数列{b_n}满足S_3n=
1
7
（1-
1
8
n
），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）证明：对于给定的n∈N^*，S_n的所有可能值组成的集合为{x|x=
2
k
-
1
2
n
，k∈N^*，k≤2^n-1}．
发布：2024/12/28 23:30:2组卷：127引用：6难度：0.1
解析