已知F为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点，|OF|=3，P，Q分别为椭圆C的上下顶点，且△PQF为等边三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P的两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于异于点P的点A，B，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】（1）=1．
（2）证明：设直线l1的方程为：y=kx+1，（k＞0），
则直线l1的方程为：y=-x+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立
，化为：（1+4k2）x2+8kx=0，
解得x1=-，+1=，可得A（-，）．
联立
，化为：（4+k2）x2-8kx=0，
解得x2=，y2=-×+1=，可得B（，）．
∴直线AB的方程为：y-=（x-），
化为：y-=（x-），化为：y=x-．
∴直线AB过定点：．
x
2
4
+
y
2
（2）证明：设直线l1的方程为：y=kx+1，（k＞0），
则直线l1的方程为：y=-
1
k
联立
y = kx + 1 |
x 2 + 4 y 2 = 4 |
解得x1=-
8
k
1
+
4
k
2
y
1
=
k
×
-
8
k
1
+
4
k
2
1
-
4
k
2
1
+
4
k
2
8
k
1
+
4
k
2
1
-
4
k
2
1
+
4
k
2
联立
y = - 1 k x + 1 |
x 2 + 4 y 2 = 4 |
解得x2=
8
k
4
+
k
2
1
k
8
k
4
+
k
2
k
2
-
4
4
+
k
2
8
k
4
+
k
2
k
2
-
4
4
+
k
2
∴直线AB的方程为：y-
k
2
-
4
k
2
+
4
k
2
-
4
k
2
+
4
-
1
-
4
k
2
1
+
4
k
2
8
k
4
+
k
2
+
8
k
1
+
4
k
2
8
k
4
+
k
2
化为：y-
k
2
-
4
k
2
+
4
k
2
-
1
5
k
8
k
4
+
k
2
k
2
-
1
5
k
3
5
∴直线AB过定点：
（
0
，-
3
5
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：389引用：2难度：0.1
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