已知：菱形ABCD和菱形A′B′C′D′，∠BAD=∠B′A′D′，起始位置点A在边A′B′上，点B在A′B′所在直线上，点B在点A的右侧，点B′在点A′的右侧，连接AC和A′C′，将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转α角（0°＜α＜180°）．
（1）如图1，若点A与A′重合，且∠BAD=∠B′A′D′=90°，求证：BB′=DD′．
（2）若点A与A′不重合，M是A′C′上一点，当MA′=MA时，连接BM和A′C，BM和A′C所在直线相交于点P．
①如图2，当∠BAD=∠B′A′D′=90°时，请猜想线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．
②如图3，当∠BAD=∠B′A′D′=60°时，请求出线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．
③在②的条件下，若点A与A′B′的中点重合，A′B′=4，AB=2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长．
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）证明见解析部分．
（2）①结论：AA′=BM，∠BPC=45°．证明见解析部分．
②A′C=BM，∠BPC=30°
③1+或-1．
（2）①结论：AA′=
2
②A′C=
3
③1+
33
3
33
3
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/23 3:30:1组卷：1720引用：3难度：0.1
相似题
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1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=20，点D从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动，到点B停止．当点D与A、B两点不重合时，作DP⊥AC交AC于点P，作DQ⊥BC交BC于点Q．E为射线CA上一点，且∠CQE=∠BAC．设点D的运动时间为t（秒）．5
（1）AB的长为 ．
（2）求CQ的长．（用含有t的代数式表示）
（3）线段QE将矩形PDQC分成两部分图形的面积比为1：3时，求t的值．
（4）当t为某个值时，沿PD将以D、E、Q、A为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的t值．发布：2025/5/23 6:30:1组卷：84引用：2难度：0.1 -
2．问题情境：
在综合实践课上，同学们以“正方形的旋转”为主题开展活动．如图①，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，边长分别是12和13，将顶点A与顶点E重合，正方形EFGH绕点A逆时针方向旋转，连接BF，DH．
初步探究：
（1）试猜想线段BF与DH的关系，并加以证明；
问题解决：
（2）如图②，在正方形EFGH的旋转过程中，当点F恰好落在BC边上时，连接CG，求线段CG的长；
（3）在图②中，若FG与DC交于点M，请直接写出线段MG的长．
发布：2025/5/23 8:0:2组卷：437引用：2难度：0.3 -
3．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，把纸片展平，得到折痕EF；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点Q处，把纸片展平，连接PQ，BQ．根据以上操作，当点Q在EF上（如图1）时，∠QBC=°．
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PQ交CD于点G，连接BG．对角线AC与BP、BG分别交于点M、N，连接PN．当点Q在EF上（如图2）时，判断线段PN与BG的位置关系，并说明理由；
（3）拓展应用
在（2）的探究中，改变点P在AD上的位置，当点G在线段FC上时（如图3），若正方形的边长为63，求S△BPG的值．，FG=3
发布：2025/5/23 8:0:2组卷：358引用：1难度：0.2
