已知双曲线

C

：

x

2

a

2

-

y

2

b

2

=

1

（

a

＞

0

，

b

＞

0

）

的左、右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=4，

P

（

3

，

2

）

是C上一点．
（1）求C的方程；
（2）不垂直于坐标轴的直线l交C于M，N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若|AM|•|AN|=2|AD|，证明：直线l过四个定点（-3，0），（-1，0），（1，0），（3，0）中的一个．

【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．

【答案】（1）；
（2）证明：设A（s，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线l的方程为x=ty+s（t≠0），
联立，整理得（t²-3）y²+2sty+s²-3=0，
由题意，得t²-3≠0且Δ=4s²t²-4（t²-3）（s²-3）＞0，则t²≠3且s²+t²＞3，
则，，

=，
设MN的中点G（x₀，y₀）为，则，，
所以线段MN的垂直平分线的方程为，
令y=0，得，即，所以，
由题意，得，即|s²-3|=2|s|，从而s²-3=±2s，
当s²-3=2s，即s²-2s-3=0时，解得s=-1或s=3；
当s²-3=-2s，即s²+2s-3=0时，解得s=-3或s=1，
所以直线l的方程为x=ty-3，或x=ty-1，或x=ty+1，或x=ty+3，
故直线l过四个定点（-3，0），（-1，0），（1，0），（3，0）中的一个．