已知函数f（x）=e^x-2x-（a+1），g（x）=x²+（a-1）x-（a+2）（其中e≈2.71828是自然对数的底数）．
（Ⅰ）试讨论函数f（x）的零点个数；
（Ⅱ）当a＞1时，设函数h（x）=f（x）-g（x）的两个极值点为x₁，x₂且x₁＜x₂，求证：
e
x
2
-
e
x
1
＜
4
a
+
2
．

【答案】（Ⅰ）当a＜1-2ln2时，函数f（x）无零点；
当a=1-2ln2时，函数f（x）只有一个零点；
当a＞1-2ln2时，函数f（x）有两个零点．
（Ⅱ）证明过程见解答．

【解答】

【点评】

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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：152引用：1难度：0.2

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1．已知函数f（x）=（x-a）lnx（a∈R），它的导函数为f'（x）．
（1）当a=1时，求f'（x）的零点；
（2）若函数f（x）存在极小值点，求a的取值范围．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：279引用：8难度：0.4
解析
2．若函数
f
（
x
）
=
e
2
x
4
-
ax
e
x
有两个极值点，则实数a的取值范围为（　　）
A．
（
-
∞
，-
1
2
）
B．
（
-
1
2
，
0
）
C．
（
1
2
，
+
∞
）
D．
（
0
，
1
2
）
发布：2024/12/29 13:30:1组卷：125引用：4难度：0.5
解析
3．定义：设f'（x）是f（x）的导函数，f″（x）是函数f'（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数
f
（
x
）
=
a
x
3
+
b
x
2
+
5
3
（
ab
≠
0
）
的对称中心为（1，1），则下列说法中正确的有（　　）
A．
a
=
1
3
，b=-1
B．函数f（x）既有极大值又有极小值
C．函数f（x）有三个零点
D．过
（
-
1
，
1
3
）
可以作两条直线与y=f（x）图像相切
发布：2024/12/29 13:30:1组卷：184引用：7难度：0.5
解析

已知函数f（x）=ex-2x-（a+1），g（x）=x2+（a-1）x-（a+2）（其中e≈2.71828是自然对数的底数）．（Ⅰ）试讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）当a＞1时，设函数h（x）=f（x）-g（x）的两个极值点为x1，x2且x1＜x2，求证：ex2-ex1＜4a+2．