已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），右焦点为F（2，0），且离心率为63．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2=b2（x＞0）相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=3．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
2
6
3
3
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）+y2=1；
（2）证明：由（1）得，曲线为x2+y2=1（x＞0），
当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x=1，不合题意；
当直线MN的斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2）．
充分性的证明：设直线MN：y=kx+b（kb＜0）即kx-y+b=0，
由直线MN与曲线x2+y2=1（x＞0）相切可得=1，所以b2=k2+1，
联立
可得（1+3k2）x2+6kbx+3b2-3=0，
Δ=36k2b2-4（1+3k2）（3b2-3）＞0，即b2＜1+3k2，
所以x1+x2=，x1•x2=，
所以|MN|=•=•，
=•，
化简得3（k2-1）2=0，所以k=±1，
所以
或
，
所以直线MN：y=x-或y=-x+，
所以直线MN过点F（，0），即M，N，F三点共线，充分性成立．
必要性的证明：当M、N、F三点共线，可设直线MN：y=k（x-）即kx-y-k=0，
由直线MN与曲线x2+y2=1（x＞0）相切，可得=1，解得k=±1，
联立
，整理可得4x2-6x+3=0，
显然Δ＞0成立，且x1+x2=，x1•x2=，
所以|MN|=•=•=，
所以必要性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=．
x
2
3
（2）证明：由（1）得，曲线为x2+y2=1（x＞0），
当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x=1，不合题意；
当直线MN的斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2）．
充分性的证明：设直线MN：y=kx+b（kb＜0）即kx-y+b=0，
由直线MN与曲线x2+y2=1（x＞0）相切可得
|
b
|
k
2
+
1
联立
y = kx + b ， |
x 2 3 + y 2 = 1 |
Δ=36k2b2-4（1+3k2）（3b2-3）＞0，即b2＜1+3k2，
所以x1+x2=
-
6
kb
1
+
3
k
2
3
b
2
-
3
1
+
3
k
2
所以|MN|=
1
+
k
2
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
•
x
2
1
+
k
2
（
-
6
kb
1
+
3
k
2
）
2
-
4
•
3
b
2
-
3
1
+
3
k
2
=
1
+
k
2
24
k
2
1
+
3
k
2
=
3
化简得3（k2-1）2=0，所以k=±1，
所以
k = 1 |
b = - 2 |
k = - 1 |
b = 2 |
所以直线MN：y=x-
2
2
所以直线MN过点F（
2
必要性的证明：当M、N、F三点共线，可设直线MN：y=k（x-
2
2
由直线MN与曲线x2+y2=1（x＞0）相切，可得
|
2
k
|
k
2
+
1
联立
y =± （ x - 2 ） |
x 2 + 3 y 2 = 3 |
2
显然Δ＞0成立，且x1+x2=
3
2
2
3
4
所以|MN|=
1
2
+
（
±
1
）
2
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
2
9
2
-
4
•
3
4
3
所以必要性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：449引用：8难度：0.6
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