已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率22，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0），证明：∠OMA=∠OMB．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
2
2
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（Ⅰ）+y2=1；
（Ⅱ）证明：由（1）知椭圆C的右焦点为F（1，0），
设直线l：x=my+1，
设直线l与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
联立椭圆x2+2y2=2，
得（2+m2）y2+2my-1=0，
Δ=4m2+4（2+m2）＞0恒成立，
y1+y2=-，y1y2=-
kAM+kBM=+
==
=，
由2my1y2-（y1+y2）=2m•（-）-（-）=0，
可得kAM+kBM=0，
则∠OMA=∠OMB．
x
2
2
（Ⅱ）证明：由（1）知椭圆C的右焦点为F（1，0），
设直线l：x=my+1，
设直线l与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
联立椭圆x2+2y2=2，
得（2+m2）y2+2my-1=0，
Δ=4m2+4（2+m2）＞0恒成立，
y1+y2=-
2
m
2
+
m
2
1
2
+
m
2
kAM+kBM=
y
1
x
1
-
2
y
2
x
2
-
2
=
y
1
（
x
2
-
2
）
+
y
2
（
x
1
-
2
）
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
y
1
（
m
y
2
-
1
）
+
y
2
（
m
y
1
-
1
）
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
=
2
m
y
1
y
2
-
（
y
1
+
y
2
）
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
由2my1y2-（y1+y2）=2m•（-
1
2
+
m
2
2
m
2
+
m
2
可得kAM+kBM=0，
则∠OMA=∠OMB．
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/8 3:0:9组卷：127引用：5难度：0.5
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