某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ，BP与CQ的数量关系是 BP=CQBP=CQ；
（2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，连接CQ，判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为3，CQ=1，求正方形ADBC的边长．
【考点】四边形综合题．
【答案】BP=CQ
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/25 18:30:1组卷：215引用：1难度：0.4
相似题
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1．【问题情境】
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，F是AC边上一动点（点F不与点A，C重合），以CF为边在△ABC外作正方形CDEF，连接AD，BF．
【探究展示】
（1）①猜想：图1中，线段BF，AD的数量关系是 ，位置关系是 ．
②如图2，将图1中的正方形CDEF绕点C顺时针旋转α，BF交AC于点H，交AD于点O，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【拓展延伸】
（2）如图3，将【问题情境】中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，连接BF并延长，交AC于点H，交AD于点O，连接BD，AF．若AC=4，BC=3，CD=，CF=1，求BD2+AF2的值．43发布：2025/5/25 23:30:1组卷：246引用：3难度：0.4 -
2．【阅读理解】人教版七年级下册8.3探究2：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产值的比是1：2，现要把一块长AB为200m、宽AD为100m的长方形土地分为两块土地，分别种植这两种作物，怎么样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4？
【解题过程】如图1，若甲、乙两种作物的种植区分别为长方形AMND和MNCB，此时设AM=xm,MB=ym,根据题意，列出方程组：，解得100x：2×100y=3：4x+y=200．x=120y=80
过长方形土地的长边上离一端120m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大一块土地种植甲作物，其面积为：100×120=12000m2，
较小的一块土地种乙种作物，其面积为：80×100=8000m2．
【尝试应用】同学们从以上解决方法得到启发提出解决上述问题的另一思路：
若按如图2所示，划分出一块三角形土地AMN种植乙种作物，其余土地种植甲种作物，则AM应该取多长？
【拓展应用】现要把另一块长AB为200m、宽AD为100m的长方形土地建成花园小广场，设计方案如图3所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样（EF=GH=MN=PQ），设EF=xm（55≤x≤60）．当出口宽为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？
发布：2025/5/25 23:0:2组卷：197引用：1难度：0.4 -
3．综合与实践
问题情境：在综合实践课上，老师让大家动手操作三角形纸片的折叠问题，“智慧”小组提供了如下折叠方法：
（1）如图①，经过点A的直线折叠△ABC纸片，使得边AB落在AC边上，折痕为AM，AM交BC于点D，得到图②，再将纸片展平在一个平面上，得到图③．
（2）再次折叠△ABC纸使得A与点D重合，折痕为PQ，得到图④，再次将纸片展平在一个平面上，连接DP，DQ，得到图⑤．
操作与发现：（1）证明四边形APDQ是菱形．
操作与探究：（2）在图⑤中，若∠B+∠C=120°，AD=6，求PD的长．
操作与实践：（3）若△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，通过从图①一图⑤的折叠，那么最后折叠成的四边形APDQ的面积为 ．（直接写出即可）发布：2025/5/25 23:0:2组卷：284引用：5难度：0.3
