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对于正整数a,如果存在正整数b,c使得a=bc,则称b,c为a的约数.比如36=4×9,所以4和9是36的约数.为了找出36的所有约数,我们可以把36继续分解,即36=2×2×3×3,进一步写成36=22×32,所以36的约数就可以表示成2α•3β的形式,其中α可取0、1、2,β可取0、1、2;这样我们就很快地得出36共有9(9=3×3)个约数,分别为1、3、9、2、6、18、4、12、36.以上方法我们称之为是对36进行“分解质因数”.其实不难发现,对于任意正整数m都可以对其进行分解质因数,即m=P1α1P2α2…Pnαn,其中P1,P2,…,Pn是互不相等的质数,那么m的所有约数n就可表示为n=p1β1p2β2…pnβn(0≤β1≤α1,0≤β2≤α2,…0≤βn≤αn且β1,β2…,βn都是整数),进而不难得出m共有(a1+1)(a2+1)…(an+1)个约数.特别的,如果m=n2k(n是正整数,k为自然数),则称m为完全平方数.
(1)根据以上阅读材料,求出3000共有多少个约数?
(2)请说明对任意的一个完全平方数的约数个数一定是奇数.
α
1
α
2
α
n
β
1
β
2
β
n
【考点】质数与合数.
【答案】见试题解答内容
【解答】
【点评】
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发布:2024/11/19 8:0:1组卷:130引用:1难度:0.3
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