综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师向大家展示了一个图形变换的问题．如图1．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE，AF，连接EF．试判断△AEF的形状．
独立思考：
（1）请解答问题情境提出的问题，并写出证明过程．
实践探究：
（2）如图2．将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC，CD于点P，Q，连接PQ．请猜想线段BP，PQ，DQ之间的数量关系，并加以证明．
问题解决：
（3）如图3．连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP，AQ分别交对角线BD于点M，N，将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4所示．若BM=7，DN=24，求MN的长．
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）△AEF是等腰三角形；
（2）结论：PQ=BP+DQ．证明见解析部分；
（3）25．
（2）结论：PQ=BP+DQ．证明见解析部分；
（3）25．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：127引用：1难度：0.1
相似题
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1．如图（1），△ABD和△ACE是两个等腰直角三角形，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°．
（1）判断CD与BE有怎样关系；并说明理由；
（2）如图（2）过点A作AP⊥BC于点P，延长PA交DE于点Q．试说明点Q为DE中点．
（3）如图（1），若AB=4，AC=3．则四边形DBCE面积最大值是 ，此时△ADE的面积是 ．发布：2025/6/11 19:0:1组卷：46引用：1难度：0.1 -
2．.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=9cm,BC=24cm,E是BC的中点．动点P从点A出发沿AD向终点D运动，动点P平均每秒运动1cm；同时动点Q从点C出发沿CB向终点B运动，动点Q平均每秒运动2cm,当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动．
（1）当动点P运动t（0＜t＜9）秒时，则PD=；（用含t的代数式直接表示）
（2）当动点Q运动t秒时，
①若0＜t＜6，则EQ=；（用含t的代数式直接表示）
②若6＜t＜9，则EQ=；（用含t的代数式直接表示）
（3）当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？
发布：2025/6/11 21:30:2组卷：43引用：1难度：0.3 -
3．如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC=90°，AD=4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）如图2，在旋转过程中，
①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；
②当CE=CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．
（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．
①求证：AG⊥CP；
②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
发布：2025/6/11 20:0:1组卷：2479引用：6难度：0.1
