综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师向大家展示了一个图形变换的问题．如图1．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE，AF，连接EF．试判断△AEF的形状．
独立思考：
（1）请解答问题情境提出的问题，并写出证明过程．
实践探究：
（2）如图2．将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC，CD于点P，Q，连接PQ．请猜想线段BP，PQ，DQ之间的数量关系，并加以证明．
问题解决：
（3）如图3．连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP，AQ分别交对角线BD于点M，N，将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4所示．若BM=7，DN=24，求MN的长．
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）△AEF是等腰三角形；
（2）结论：PQ=BP+DQ．证明见解析部分；
（3）25．
（2）结论：PQ=BP+DQ．证明见解析部分；
（3）25．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：127引用：1难度：0.1
相似题
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1．如图（1），△ABD和△ACE是两个等腰直角三角形，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°．
（1）判断CD与BE有怎样关系；并说明理由；
（2）如图（2）过点A作AP⊥BC于点P，延长PA交DE于点Q．试说明点Q为DE中点．
（3）如图（1），若AB=4，AC=3．则四边形DBCE面积最大值是 ，此时△ADE的面积是 ．发布：2025/6/11 19:0:1组卷：46引用：1难度：0.1 -
2．如图，已知一个锐角等于60°的菱形ABCD，将一个60°的∠MAN的顶点与该菱形的顶点A重合，以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个60°的∠MAN，使它的两边分别交CB，DC或它们的延长线于点E，F．
（1）如图1，当∠BAE=∠DAF时，AE与AF的数量关系是 ．
（2）如图2，旋转∠MAN，当∠BAE≠∠DAF时，（1）中的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）若菱形ABCD的边长为4，BE=1，求AF的长．
发布：2025/6/11 16:30:1组卷：90引用：2难度：0.4 -
3．如图，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2．宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF，现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE'F′'D'，旋转角为α．
（1）如图1，当点D'恰好落在EF边上时，求D'E；
（2）如图2，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：GD'=E'D；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD'与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α值；若不能，说明理由．
发布：2025/6/11 18:30:2组卷：69引用：4难度：0.3
