如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC、BC.

(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点P为直线BC下方抛物线上一动点,过P作PD∥y轴交BC于点D,过P作PE∥AC交BC于点E,求DE的最大值及此时点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,把抛物线y=12x2+bx+c沿射线AC的方向平移5个单位,得到新抛物线y',M是新抛物线y'上一点,N是原抛物线对称轴上一点,当以M、N、B、P为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出所有符合条件的N点的坐标.
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【考点】二次函数综合题.
【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=x2-x-4;
(2)DE最大值为,此时,点P的坐标为(2,-4);
(3)符合条件的N点的坐标为(1,-2)或(1,2)或(1,-10).
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(2)DE最大值为
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(3)符合条件的N点的坐标为(1,-2)或(1,2)或(1,-10).
【解答】
【点评】
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发布:2024/6/27 10:35:59组卷:457引用:1难度:0.3
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1.如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A、B(点B在点A左侧),与y轴相交于点C(0,3).已知点A坐标为(1,0),△ABC面积为6.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点,过点P作直线BC的垂线,垂足为点E,过点P作PF∥y轴交BC于点F,求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标;
(3)如图2,将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y',平移后的抛物线与原抛物线相交于点D,点M为直线BC上的一点,点N是平面坐标系内一点,是否存在点M,N,使以点B,D,M,N为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.发布:2025/6/4 17:30:2组卷:486引用:3难度:0.4 -
2.如图,抛物线y=a(x+1)(x-3)交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴负半轴于C点,已知S△ABC=6.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在直线BC下方的抛物线上取一点P,连接AP交BC于E点,当tan∠AEC=4时,求点P的坐标;
(3)点M、N均在抛物线上,设点M的横坐标为m,点N的横坐标为n,(0<n<m<3),连接MN,连接AM、AN分别与y轴交于点S、T,∠AMN=2∠BAM,请问3OS+ST是否为定值?若是,求出其值;若不是,说明理由.发布:2025/6/4 17:30:2组卷:236引用:1难度:0.1 -
3.已知抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.直线l由直线BC平移得到,与y轴交于点E(0,n).四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M(m+1,m+3),N(m+1,m),P(m+5,m),Q(m+5,m+3).
(1)填空:a=,b=;
(2)若点M在第二象限,直线l与经过点M的双曲线y=有且只有一个交点,求n2的最大值;kx
(3)当直线l与四边形MNPQ、抛物线y=ax2+bx-2都有交点时,存在直线l,对于同一条直线l上的交点,直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y=ax2+bx-2的交点的纵坐标.
①当m=-3时,直接写出n的取值范围;
②求m的取值范围.发布:2025/6/5 8:30:1组卷:1460引用:3难度:0.1