如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A（-2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上一动点，过P作PD∥y轴交BC于点D，过P作PE∥AC交BC于点E，求DE的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，把抛物线y=12x2+bx+c沿射线AC的方向平移5个单位，得到新抛物线y'，M是新抛物线y'上一点，N是原抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、P为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标．
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【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=x2-x-4；
（2）DE最大值为，此时，点P的坐标为（2，-4）；
（3）符合条件的N点的坐标为（1，-2）或（1，2）或（1，-10）．
1
2
（2）DE最大值为
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（3）符合条件的N点的坐标为（1，-2）或（1，2）或（1，-10）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：457引用：1难度：0.3
相似题
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1．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A、B（点B在点A左侧），与y轴相交于点C（0，3）．已知点A坐标为（1，0），△ABC面积为6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作直线BC的垂线，垂足为点E，过点P作PF∥y轴交BC于点F，求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y'，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/4 17:30:2组卷：486引用：3难度：0.4 -
2．如图，抛物线y=a（x+1）（x-3）交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴负半轴于C点，已知S△ABC=6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC下方的抛物线上取一点P，连接AP交BC于E点，当tan∠AEC=4时，求点P的坐标；
（3）点M、N均在抛物线上，设点M的横坐标为m,点N的横坐标为n,（0＜n＜m＜3），连接MN，连接AM、AN分别与y轴交于点S、T，∠AMN=2∠BAM，请问3OS+ST是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．发布：2025/6/4 17:30:2组卷：236引用：1难度：0.1 -
3．已知抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．直线l由直线BC平移得到，与y轴交于点E（0，n）．四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M（m+1，m+3），N（m+1，m），P（m+5，m），Q（m+5，m+3）．
（1）填空：a=，b=；
（2）若点M在第二象限，直线l与经过点M的双曲线y=有且只有一个交点，求n2的最大值；kx
（3）当直线l与四边形MNPQ、抛物线y=ax2+bx-2都有交点时，存在直线l,对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y=ax2+bx-2的交点的纵坐标．
①当m=-3时，直接写出n的取值范围；
②求m的取值范围．
发布：2025/6/5 8:30:1组卷：1460引用：3难度：0.1
