已知抛物线Γ：y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆4x2+20y2=5的右焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；
（Ⅱ）动直线l恒过点M（0，1）与抛物线Γ交于A、B两点，与x轴交于C点，请你观察并判断：在线段MA，MB，MC，AB中，哪三条线段的长总能构成等比数列？说明你的结论并给出证明．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；抛物线的标准方程．
【答案】（Ⅰ）y2=4x；
（Ⅱ）解法一：设直线l：y=kx+1（k≠0），则C（-，0），
由
得k2x2+2（k-2）x+1=0；
因为Δ=4（k-2）2-4k2＞0，所以k＜1；
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
所以由弦长公式得：，，，，
|MA|•|MB|=（1+k2）•|x1x2|=（1+k2）•=|MC|2．
若|MA|•|MB|=|AB|2，则，不满足题目要求．
所以存在三线段MA、MC、MB的长成等比数列．
解法二：同法一得，
而=（x1，y1-1）•（x2，y2-1）=（x1，kx1）•（x2，kx2）
=（1+k2）x1x2==，
因为C（-，0），所以|MC|2=1+．
因为M、A、B三点共线，且向量、同向，
所以==，
因此==|MC|2．
所以存在三线段MA、MC、MB的长成等比数列．
（Ⅱ）解法一：设直线l：y=kx+1（k≠0），则C（-
1
k
由
y = kx + 1 |
y 2 = 4 x |
因为Δ=4（k-2）2-4k2＞0，所以k＜1；
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
x
1
+
x
2
=
-
2
（
k
-
2
）
k
2
x
1
x
2
=
1
k
2
所以由弦长公式得：
|
MA
|
=
1
+
k
2
|
x
1
|
|
MB
|
=
1
+
k
2
|
x
2
|
|
MC
|
=
1
+
k
2
•
|
1
k
|
|
AB
|
=
1
+
k
2
•
|
x
1
-
x
2
|
=
1
+
k
2
•
4
1
-
k
k
2
|MA|•|MB|=（1+k2）•|x1x2|=（1+k2）•
1
k
2
若|MA|•|MB|=|AB|2，则
k
=
-
8
±
4
2
所以存在三线段MA、MC、MB的长成等比数列．
解法二：同法一得
x
1
x
2
=
1
k
2
而
MA
•
MB
=（1+k2）x1x2=
（
1
+
k
2
）
•
1
k
2
1
+
1
k
2
因为C（-
1
k
1
k
2
因为M、A、B三点共线，且向量
MA
MB
所以
MA
•
MB
|
MA
|
•
|
MB
|
•
cos
0
°
|
MA
|
•
|
MB
|
因此
|
MA
|
•
|
MB
|
1
+
1
k
2
所以存在三线段MA、MC、MB的长成等比数列．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：10引用：3难度：0.3
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