已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l：x-y+2=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=4，证明：直线AB过定点（-12，-1）．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
l
：
x
-
y
+
2
=
0
-
1
2
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（I）；
（II）由（I）可知：M（0，1）．
①若直线AB的斜率不存在，设方程为x=x0，则A（x0，y0），B（x0，-y0）．
由已知得，解得，
此时直线AB的方程为，显然过点．
②若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+m，由椭圆m≠±1．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立
．
化为（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
∴，．（*）
∵k1+k2=4，∴，
∴，化为．
把（*）代入得，∴k=2（m+1），∴．
∴直线AB的方程为，即，
∴直线AB过定点．
x
2
2
+
y
2
=
1
（II）由（I）可知：M（0，1）．
①若直线AB的斜率不存在，设方程为x=x0，则A（x0，y0），B（x0，-y0）．
由已知得
y
0
-
1
x
0
+
-
y
0
-
1
x
0
=
4
x
0
=
-
1
2
此时直线AB的方程为
x
=
-
1
2
（
-
1
2
，-
1
）
②若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+m，由椭圆m≠±1．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立
y = kx + m |
x 2 + 2 y 2 = 2 |
化为（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
∴
x
1
+
x
2
=
-
4
km
1
+
2
k
2
x
1
x
2
=
2
m
2
-
2
1
+
2
k
2
∵k1+k2=4，∴
y
1
-
1
x
1
+
y
2
-
1
x
2
=
4
∴
k
x
1
+
m
-
1
x
1
+
k
x
2
+
m
-
1
x
2
=
4
2
k
+
（
m
-
1
）
x
1
+
x
2
x
1
x
2
=
4
把（*）代入得
k
-
km
m
+
1
=
2
m
=
k
2
-
1
∴直线AB的方程为
y
=
kx
+
k
2
-
1
y
=
k
（
x
+
1
2
）
-
1
∴直线AB过定点
（
-
1
2
，-
1
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：73引用：6难度：0.1
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