抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为a+b+c.
（1）求a,b应满足的数量关系；
（2）若抛物线上任意不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜ca时，（x1-x2）（y1-y2）＜0；当ca＜x1＜x2时，（x1-x2）（y1-y2）＞0．直线y=c与抛物线交于M、N两点，且△PMN为等腰直角三角形．
①求抛物线的解析式；
②若直线AB恒过定点（1，1），且以AB为直径的圆与直线y=m总有公共点，求m的取值范围．
x
1
＜
x
2
＜
c
a
c
a
＜
x
1
＜
x
2
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）b=-2a；
（2）①抛物线的解析式为：y=x2-2x+1；
②0≤m≤2．
（2）①抛物线的解析式为：y=x2-2x+1；
②0≤m≤2．
【解答】
【点评】
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发布：2025/6/2 1:30:2组卷：87引用：1难度：0.1
相似题
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1．平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，点C的坐标为（-3，4），点A在x轴的正半轴上，O为坐标原点，连接OB，抛物线y=ax2+bx+c经过C、O、A三点．
（1）直接写出这条抛物线的解析式；
（2）如图1，对于所求抛物线对称轴上的一点E，设△EBO的面积为S1，菱形ABCO的面积为S2，当S1≤S2时，求点E的纵坐标n的取值范围；14
（3）如图2，D（0，-）为y轴上一点，连接AD，动点P从点O出发，以52个单位/秒的速度沿OB方向运动，1秒后，动点Q从O出发，以2个单位/秒的速度沿折线O-A-B方向运动，设点P运动时间为t秒（0＜t≤6），是否存在实数t,使得以P、Q、B为顶点的三角形与△ADO相似？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．55
发布：2025/6/18 19:0:2组卷：1314引用：52难度：0.1 -
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；
（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．
发布：2025/6/18 19:0:2组卷：2952引用：52难度：0.5 -
3．在平面直角坐标系中，抛物线y=-
x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点．12
（1）求抛物线的解析式；
（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．
①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；
②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值．
发布：2025/6/18 19:0:2组卷：6193引用：66难度：0.5
