设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a=（mx,y+1），向量b=（x,y-1），且a⊥b，动点M（x,y）的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）当m=14时，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹C恒有两个交点A、B，且OA⊥OB？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由．
a
b
a
⊥
b
1
4
OA
⊥
OB
【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程．
【答案】（1）轨迹C的方程为：mx2+y2=1；
当m=0时，曲线的方程为y=±1，表示两条直线；
当m＜0时，该曲线表示焦点在y轴上的双曲线；
m=1时，该曲线表示圆心为坐标原点，半径为1的圆；
0＜m＜1时，该曲线表示焦点在x轴上的椭圆；
当m＞1时，该曲线表示焦点在y轴上的椭圆；
（2）存在这样的圆，且圆的方程为x2+y2=．
当m=0时，曲线的方程为y=±1，表示两条直线；
当m＜0时，该曲线表示焦点在y轴上的双曲线；
m=1时，该曲线表示圆心为坐标原点，半径为1的圆；
0＜m＜1时，该曲线表示焦点在x轴上的椭圆；
当m＞1时，该曲线表示焦点在y轴上的椭圆；
（2）存在这样的圆，且圆的方程为x2+y2=
4
5
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：117引用：1难度：0.6
相似题
-
1．点P在以F1，F2为焦点的双曲线
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1，P2两点，且，OP1•OP2=-274，求双曲线E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使MQ=λQN？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．F1F2⊥（GM-λGN）发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7 -
2．已知两个定点坐标分别是F1（-3，0），F2（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于2
．5
（1）求曲线C的方程；
（2）过F1（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF2的面积．发布：2024/12/29 10:30:1组卷：103引用：1难度：0.9 -
3．若过点（0，-1）的直线l与抛物线y2=2x有且只有一个交点，则这样的直线有（ ）条．
发布：2024/12/29 10:30:1组卷：26引用：5难度：0.7
