设斜率不为0的直线l与抛物线x2=4y交于A，B两点，与椭圆x26+y24=1交于C，D两点，记直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为k1，k2，k3，k4．
（1）若直线l过（0，4），证明：OA⊥OB；
（2）求证：k1+k2k3+k4的值与直线l的斜率的大小无关．
x
2
6
y
2
4
k
1
+
k
2
k
3
+
k
4
【考点】圆锥曲线的综合．
【答案】证明：（1）设直线方程为y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），
由=4y1，=4y2，两式相乘可得（x1x2）2=16y1y2，
由
可得x2-4kx-16=0，
则x1x2=-16，y1y2=16，x1x2+y1y2=0，
即•=0，OA⊥OB；
（2）设直线y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
可得x2-4kx-4m=0，x1+x2=4k，x1x2=-4m，
k1+k2=+=+=k，
联立y=kx+m和椭圆2x2+3y2=12，可得（2+3k2）x2+6kmx+3m2-12=0，
Δ=36k2m2-4（2+3k2）（3m2-12）＞0，即4+6k2＞m2，
x3+x4=-，x3x4=，
k3+k4=+=+=2k+m（+）=2k+
=2k-=-，
则=-与直线l的斜率的大小无关．
由
x
2
1
x
2
2
由
y = kx + 4 |
x 2 = 4 y |
则x1x2=-16，y1y2=16，x1x2+y1y2=0，
即
OA
OB
（2）设直线y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
y = kx + m |
x 2 = 4 y |
k1+k2=
y
1
x
1
y
2
x
2
x
1
4
x
2
4
联立y=kx+m和椭圆2x2+3y2=12，可得（2+3k2）x2+6kmx+3m2-12=0，
Δ=36k2m2-4（2+3k2）（3m2-12）＞0，即4+6k2＞m2，
x3+x4=-
6
km
2
+
3
k
2
3
m
2
-
12
2
+
3
k
2
k3+k4=
y
3
x
3
y
4
x
4
k
x
3
+
m
x
3
kx
+
m
x
4
1
x
3
1
x
4
m
（
x
3
+
x
4
）
x
3
x
4
=2k-
6
k
m
2
3
m
2
-
12
8
k
m
2
-
4
则
k
1
+
k
2
k
3
+
k
4
m
2
-
4
8
【解答】
【点评】
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