综合与实践．
生活背景：
中国茶叶历史悠久，品茶已成为中国人日常生活中不可缺少的一部分．茶叶包装是茶叶最直观的视觉体验，不但丰富了茶叶内容，而且促进了茶叶包装业的发展和进步．某数学综合实践活动小组分组搜集茶叶的空包装盒，并对如图1所示的无盖茶叶包装盒进行制作探究．
数学模型：
如图2是该无盖包装盒的展开图，侧面均为矩形．经测量，包装盒的高为3cm,底面是六边形ABCDEF，六边形的每个内角都是120°，AB=5cm,BC=DE=AF=2cm,DE∥AB．
知识应用：
任务一：①求证：EF=CD=AB；②求此包装盒的容积．（注：容积=底面面积×高，忽略纸板的厚度）
任务二：如图3，将等边三角形纸板QTS沿虚线剪开折叠成高为3cm的无盖茶叶盒，请直接写出等边三角形的边长至少为多少．（图中虚线为剪切线，实线为折痕，纸板厚度及剪切损耗均忽略不计）
【考点】三角形综合题．
【答案】任务一、①证明过程见解答部分；
②包装盒的容积为×3=（cm）；
任务二、边长的最小值为（6+9）cm．
②包装盒的容积为
69
3
4
207
3
4
任务二、边长的最小值为（6
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：104引用：1难度：0.3
相似题
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1．已知直角△ABC，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，连接EF．
（1）如图1，求证：∠BED=∠AFD；
（2）如图1，求证：BE2+CF2=EF2；
（3）如图2，当∠ABC=45°，若BE=4，CF=3，求△DEF的面积．发布：2024/12/23 14:0:1组卷：216引用：3难度：0.2 -
2．一副三角板如图1摆放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转）．
（1）当∠AFD=°时，DF∥AC；当∠AFD=°时，DF⊥AB；
（2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若△AFP有两个内角相等，求∠APD的度数；
（3）当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3，若∠AFM=2∠BMN，比较∠FMN与∠FNM的大小，并说明理由．
发布：2024/12/23 18:30:1组卷：1754引用：10难度：0.1 -
3．已知A（0，4），B（-4，0），D（9，4），C（12，0），动点P从点A出发，在线段AD上，以每秒1个单位的速度向点D运动：动点Q从点C出发，在线段BC上，以每秒2个单位的速度向点B运动，点P、Q同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当t=秒时，PQ平分线段BD；
（2）当t=秒时，PQ⊥x轴；
（3）当时，求t的值．∠PQC=12∠D发布：2024/12/23 15:0:1组卷：184引用：3难度：0.1
