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如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点,其中A点坐标为(4,0),B点坐标为(-1,0),连接AC、BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒
2
个单位长度向点C做匀速运动;同时,动点Q从点B出发,在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,连接PQ,设运动时间为t秒.

(1)求二次函数的解析式.
(2)在P、Q运动的过程中,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小,最小值为多少?
(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M,使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】二次函数综合题
【答案】(1)y=-x2+3x+4;
(2)当t=
5
2
时,四边形BCPQ的面积最小,最小值为
55
8

(3)存在,M点的坐标为(
5
+
41
4
29
+
41
8
).
【解答】
【点评】
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发布:2024/6/27 10:35:59组卷:394引用:5难度:0.3
相似题
  • 1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2-2x+c(c为常数)与一次函数y=-x+b(b为常数)交于A、B两点,其中A点坐标为(-3,0).
    (1)求B点坐标;
    (2)点P为直线AB上方抛物线上一点,连接PA,PB,当S△PAB=
    125
    8
    时,求点P的坐标;
    (3)将抛物线y=-x2-2x+c(c为常数)沿射线AB平移5
    2
    个单位,平移后的抛物线y1与原抛物线y=-x2-2x+c相交于点E,点F为抛物线y1的顶点,点M为y轴上一点,在平面直角坐标系中是否存在点N,使得以点E,F,M,N为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

    发布:2025/6/9 22:30:2组卷:485引用:5难度:0.1
  • 2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c(b、c为常数)经过点A(0,-3)和点B(3,0),点M在此抛物线,点M的横坐标为m,点M不与A、B重合.
    (1)求此抛物线所对应的函数表达式.
    (2)当S△OAM=2S△AOB,求点M的坐标.
    (3)作点A关于抛物线对称轴的对称点为点C,当点M到直线AC的距离是点M到x轴距离2倍时,求m的值.
    (4)设点E的坐标为(-m-2,m),点F的坐标为(2m-2,m),连接EF.当抛物线在B、M两点之间的部分(包含B、M两点)与线段EF有1个公共点时,直接写出m的取值范围.

    发布:2025/6/9 23:30:1组卷:125引用:3难度:0.2
  • 3.【生活情境】
    为美化校园环境,某学校根据地形情况,要对景观带中一个长AD=4m,宽AB=1m的长方形水池ABCD进行加长改造(如图①,改造后的水池ABNM仍为长方形,以下简称水池1).同时,再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH(如图②,以下简称水池2).

    【建立模型】
    如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x(m)(x>0),加长后水池1的总面积为y1(m2),则y1关于x的函数解析式为:y1=x+4(x>0);设水池2的边EF的长为x(m)(0<x<6),面积为y2(m2),则y2关于x的函数解析式为:y2=-x2+6x(0<x<6),上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③.

    【问题解决】
    (1)若水池2的面积随EF长度的增加而减小,则EF长度的取值范围是
    (可省略单位),水池2面积的最大值是
    m2
    (2)在图③字母标注的点中,表示两个水池面积相等的点是
    ,此时的x(m)值是

    (3)当水池1的面积大于水池2的面积时,x(m)的取值范围是

    (4)在1<x<4范围内,求两个水池面积差的最大值和此时x的值;
    (5)假设水池ABCD的边AD的长度为b(m),其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称水池3),则水池3的总面积y3(m2)关于x(m)(x>0)的函数解析式为:y3=x+b(x>0).若水池3与水池2的面积相等时,x(m)有唯一值,求b的值.

    发布:2025/6/10 0:0:1组卷:1987引用:6难度:0.3
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