已知椭圆C：

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

（

a

＞

b

＞

0

）

的左焦点F₁（-

3

，0），点

Q

（

1

，

3

2

）

在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）经过圆O：x²+y²=5上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相交于异于点P的M，N两点．
（ⅰ）求证：

OM

+

ON

=

0

；
（ⅱ）求△OAB的面积的取值范围．

【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．

【答案】（Ⅰ）+y²=1；
（Ⅱ）（i）证明：设P（x₀，y₀），
①当直线PA，PB的斜率都存在时，设过P与椭圆相切的直线方程为y=k（x-x₀）+y₀，
联立直线与椭圆的方程，
整理可得（1+4k²）x²+8k（y₀-kx₀）x+4（y₀-kx₀）²-4=0，Δ=64k²（y₀-kx₀）²-4（1+4k²）[4（y₀-kx₀）²-4]，
由题意可得Δ=0，整理可得（4-）k²+2x₀y₀k+1-=0，
设直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，所以k₁k₂=，
又+=5，所以==-1，
所以PM⊥PN，即MN为圆O的直径，所以+=；
②当直线PA或PB的斜率不存在时，不妨设P（2，1），
则直线PA的方程为x=2，
所以M（2，-1），N（-2，1），也满足+=；
（ii）[，1]．