在平面直角坐标系xOy中，M为直线y=x-2上一动点，过点M作抛物线C：x2=y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点．
（1）证明：MN⊥x轴；
（2）直线AB是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）证明：设切点A（x1，），B（x2，x2），
因为y'=2x，所以切线MA的斜率为2x1，直线MA的方程为：y=2x1（x-x1）+=2x1x-，
设M的坐标为：（t，t-2）
所以-2tx1+t-2=0，
直线MB的斜率为2x2，切线MB的方程为y=2x2x-，
所以M点是方程-2tx2+t-2=0，
所以x1，x2是方程x2-2tx+t-2=0的两根，x1+x2=2t，
因为N为AB的中点．所以xN==t，
所以M，N的横坐标相同，
即证MN⊥x轴；
（2）是，定点为定点（，2），理由：
由（1）得yN=（+）==2t2-t+2，
又因为kAB==x1+x2=2t，
所以直线AB的方程为：y-（2t2-t+2）=2t（x-t），即y-2=2t（x-），
所以直线AB恒过一定点（，2）．
x
2
1
因为y'=2x，所以切线MA的斜率为2x1，直线MA的方程为：y=2x1（x-x1）+
x
2
1
x
2
1
设M的坐标为：（t，t-2）
所以
x
2
1
直线MB的斜率为2x2，切线MB的方程为y=2x2x-
x
2
2
所以M点是方程
x
2
2
所以x1，x2是方程x2-2tx+t-2=0的两根，x1+x2=2t，
因为N为AB的中点．所以xN=
x
1
+
x
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2
所以M，N的横坐标相同，
即证MN⊥x轴；
（2）是，定点为定点（
1
2
由（1）得yN=
1
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x
2
1
x
2
2
（
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1
+
x
2
）
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-
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x
1
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又因为kAB=
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x
2
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x
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-
x
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所以直线AB的方程为：y-（2t2-t+2）=2t（x-t），即y-2=2t（x-
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所以直线AB恒过一定点（
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【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：110引用：3难度：0.5
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