“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一．即：求作一个方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的，如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：
已知：⊙O（纸片），其半径为r.
求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．
作法：①如图1，取⊙O的直径AB，作射线BA，过点A作AB的垂线l；
②如图2，以点A为圆心，AO长为半径画弧交直线l于点C；
③将纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A'，B'处；
④取CB'的中点M，以点M为圆心，MC长为半径画半圆，交射线BA于点E；
⑤以AE为边作正方形AEFG．
正方形AEFG即为所求．
根据上述作图步骤，完成下列填空：
（1）由①可知，直线l为⊙O的切线，其依据是 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）由②③可知，AC=r,AB'=πr,则MC=（π+1）r2（π+1）r2，MA=（π-1）r2（π-1）r2（用含r的代数式表示）．
（3）连接ME，在Rt△AME中，根据AM2+AE2=EM2，可计算得AE2=πr2πr2（用含r的代数式表示）．
由此可得S正方形AEFG=S⊙O．
（
π
+
1
）
r
2
（
π
+
1
）
r
2
（
π
-
1
）
r
2
（
π
-
1
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r
2
【考点】圆的综合题．
【答案】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；；；πr2
（
π
+
1
）
r
2
（
π
-
1
）
r
2
【解答】
【点评】
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发布：2025/6/10 13:30:2组卷：591引用：5难度：0.4
相似题
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1．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）△ABC外接圆的圆心坐标是；
（2）△ABC外接圆的半径是；
（3）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是；
（4）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．2发布：2025/6/11 18:0:1组卷：224引用：6难度：0.2 -
2．如图，AB为⊙O直径，且AB=4，点C为半圆上一动点（不与A，B重合），D为弧CB上一点，点E在AD上，且CD=BD=DE，则CE的最大值为（ ）2发布：2025/6/11 19:30:1组卷：853引用：3难度：0.1 -
3．根据以下素材，探索完成任务．
如何确定隧道的限高？ 素材1 从小清家到附近山区的一条双行线公路上有一个隧道，在隧道口有一个限高标志（如图1），表示禁止装载高度（车顶最高处到地面）超过3.5m的车辆通行．那么这个限高3.5m是如何确定的呢？ 
素材2 小清通过实地调查和查阅相关资料，获得以下信息：
①隧道的横截面成轴对称，由一个矩形和一个弓形构成．
②隧道内的总宽度为8m,双行车道宽度为6m,隧道圆拱内壁最高处距路面5m,矩形的高为2m,车道两侧的人行道宽1m.
③为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道圆拱内壁在竖直方向上的高度差相差最少0.2m.
问题解决 任务1 计算半径 求图1中弓形所在圆的半径． 任务2 确定限高 如图2，在安全的条件下，3.5m的限高是如何确定的？请通过计算说明理由．（参考数据： ≈17.35，结果保留一位小数）301任务3 尝试设计 如果要使高度不超过3.3m,宽为2.5m的货车能顺利通过这个隧道，且不改变隧道内的总宽度（8m）和矩形的高（2m），如何设计隧道的弓形部分（求弓形所在圆的半径至少为多少米？）（参考数据： ≈9.44，结果保留一位小数）89发布：2025/6/11 18:30:2组卷：381引用：1难度：0.1
