“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一.即:求作一个方形,使其面积等于给定圆的面积.这个问题困扰了人类上千年,直到19世纪,该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的,如果借用一个圆形纸片,我们就可以化圆为方,方法如下:
已知:⊙O(纸片),其半径为r.
求作:一个正方形,使其面积等于⊙O的面积.
作法:①如图1,取⊙O的直径AB,作射线BA,过点A作AB的垂线l;
②如图2,以点A为圆心,AO长为半径画弧交直线l于点C;
③将纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周,使点A,B分别落在对应的A',B'处;
④取CB'的中点M,以点M为圆心,MC长为半径画半圆,交射线BA于点E;
⑤以AE为边作正方形AEFG.
正方形AEFG即为所求.

根据上述作图步骤,完成下列填空:
(1)由①可知,直线l为⊙O的切线,其依据是 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2)由②③可知,AC=r,AB'=πr,则MC=(π+1)r2(π+1)r2,MA=(π-1)r2(π-1)r2(用含r的代数式表示).
(3)连接ME,在Rt△AME中,根据AM2+AE2=EM2,可计算得AE2=πr2πr2(用含r的代数式表示).
由此可得S正方形AEFG=S⊙O.
(
π
+
1
)
r
2
(
π
+
1
)
r
2
(
π
-
1
)
r
2
(
π
-
1
)
r
2
【考点】圆的综合题.
【答案】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;;;πr2
(
π
+
1
)
r
2
(
π
-
1
)
r
2
【解答】
【点评】
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发布:2025/6/10 13:30:2组卷:591引用:5难度:0.4
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