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“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一.即:求作一个方形,使其面积等于给定圆的面积.这个问题困扰了人类上千年,直到19世纪,该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的,如果借用一个圆形纸片,我们就可以化圆为方,方法如下:
已知:⊙O(纸片),其半径为r.
求作:一个正方形,使其面积等于⊙O的面积.
作法:①如图1,取⊙O的直径AB,作射线BA,过点A作AB的垂线l;
②如图2,以点A为圆心,AO长为半径画弧交直线l于点C;
③将纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周,使点A,B分别落在对应的A',B'处;
④取CB'的中点M,以点M为圆心,MC长为半径画半圆,交射线BA于点E;
⑤以AE为边作正方形AEFG.
正方形AEFG即为所求.

根据上述作图步骤,完成下列填空:
(1)由①可知,直线l为⊙O的切线,其依据是
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

(2)由②③可知,AC=r,AB'=πr,则MC=
π
+
1
r
2
π
+
1
r
2
,MA=
π
-
1
r
2
π
-
1
r
2
(用含r的代数式表示).
(3)连接ME,在Rt△AME中,根据AM2+AE2=EM2,可计算得AE2=
πr2
πr2
(用含r的代数式表示).
由此可得S正方形AEFG=S⊙O

【考点】圆的综合题
【答案】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;
π
+
1
r
2
π
-
1
r
2
;πr2
【解答】
【点评】
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发布:2025/6/10 13:30:2组卷:591引用:5难度:0.4
相似题
  • 1.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E,AB=10,CD=6,点P是CD延长线上异于点D的一个动点,连结AP交⊙O于点Q,连结CQ交AB于点F,则点F的位置随着点P位置的改变而改变.
    (1)如图1,当DP=4时,求tan∠P的值;
    (2)如图2,连结AC,DQ,在点P运动过程中,设DP=x,
    S
    QAC
    S
    QDC
    =
    y

    ①求证:∠ACQ=∠CPA;
    ②求y与x之间的函数关系式.

    发布:2025/6/13 1:0:1组卷:2067引用:6难度:0.3
  • 2.如图,AB为⊙O直径,点C为⊙O上任意一点,连接OC,过点A作OC的平行线,交⊙O于点D,连接CD.

    (1)如图1,求证:CO平分∠BCD;
    (2)如图2,点F在线段DO的延长线上,连接AF交CD于E,若AE=EF,求证:DA=DF;
    (3)如图3,在(2)条件下,延长AF交线段BC于点G,若CD=12,BG=4,求AF的长.

    发布:2025/6/13 1:30:1组卷:79引用:2难度:0.2
  • 3.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BCD.
    (1)如图1,求证:AB=AD;
    (2)如图2,点E在弧AD上,弧CE=弧BC,延长CD、AE交于点F,求证:AF=AD.

    (3)在(2)的条件下,如图3,连接ED并延长ED交AC延长线于点P,连接PF,若PF=AF=4
    5
    ,PE=10,求⊙O的半径.

    发布:2025/6/13 2:0:4组卷:103引用:1难度:0.3
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