如图，四边形ABCD是菱形，其中∠ABC=60°，点E在对角线AC上，点F在射线CB上运动，连接EF，作∠FEG=60°，交直线DC于点G．
（1）在线段BC上取一点T，使CE=CT．
①求证：∠FET=∠GEC；
②求证：FT=CG；
（2）图中AB=7，AE=1．
①点F在线段BC上，求△EFG周长的最大值和最小值；
②记点F关于直线AB的轴对称点为点N．若点N落在∠EDC的内部（不含边界），求CF的取值范围．
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①△FEG的周长最小值为9，最大值为3；②2＜CF＜14．
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【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：145引用：1难度：0.3
相似题
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1．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=2，AB=5，BC=3．
（1）如图①，P为AB上的一个动点，以PD，PC为边作▱PCQD．
①请问四边形PCQD能否成为矩形？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
②填空：当AP=时，四边形PCQD为菱形；
③填空：当AP=时，四边形PCQD有四条对称轴．
（2）如图②，若P为AB上的一点，以PD，PC为边作▱PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/24 11:0:1组卷：701引用：3难度：0.2 -
2．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．求证：AE=FG；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，=k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；BCAB
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当时k=，若tan∠CGP=34，GF=243，求CP的长．5
发布：2025/5/24 10:30:2组卷：3153引用：13难度：0.4 -
3．数学学习总是循序渐进、不断延伸拓展的，数学知识往往起源于人们为了解决某些问题，通过观察、测量、思考、猜想出的一些结论．但是所猜想的结论不一定都是正确的．人们从已有的知识出发，经过推理、论证后，如果所猜想的结论在逻辑上没有矛盾，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理．
（1）推理证明：
在八年级学习等腰三角形和直角三角形时，借助工具测量就能够发现：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，当时并未说明这个结论的正确性．九年级学习了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了．如图1，在Rt△ABC中，若CD是斜边AB上的中线，则，请你用矩形的性质证明这个结论的正确性．CD=12AB
（2）迁移运用：利用上述结论解决下列问题：
①如图2，在线段BD异侧以BD为斜边分别构造两个直角三角形△ABD与△CBD，E、F分别是BD、AC的中点，判断EF与AC的位置关系并说明理由；
②如图3，▱ABCD对角线AC、BD相交于点O，分别以AC、BD为斜边且在同侧分别构造两个直角三角形△ACE与△BDE，求证：▱ABCD是矩形．发布：2025/5/24 10:30:2组卷：291引用：3难度：0.5
